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Enti indefiniti e sistemi assiomatici

Autor:ADZ1

Assiomi di incidenza e parallelismo

INFORMAZIONI TEORICHE I punti e le rette sono oggetti indefiniti. Semplicemente postuliamo un insieme, i cui elementi vengono chiamati punti, con certi suoi sottoinsiemi, che chiamiamo rette. Aggiungiamo anche la seguente: Definizione: due rette distinte sono parallele se non hanno punti in comune. Diciamo anche che ogni retta è parallela a sè stessa. Quindi: non sappiamo cosa sono i punti né sappiamo quali sottoinsiemi formano le rette ma richiediamo che questi oggetti indefiniti obbediscano a certi assiomi (abbiamo quindi un sistema assiomatico). Nel nostro sistema assiomatico, gli assiomi che ci interessano sono i quattro seguenti che riguardano i punti, le rette e le loro intersezioni:
  • (I1) Per ogni coppia di punti distinti A, B, esiste un'unica retta r che contiene A, B.
  • (I2) Ogni retta contiene almeno due punti.
  • (I3) Esistono tre punti non allineati (cioè, esistono tre punti non tutti contenuti in una retta.
  • (P) Per ogni punto A e per ogni retta r, c'è al massimo una retta che contiene A ed è parallela ad r.
Un modello di un sistema assiomatico è la realizzazione dei termini non definiti in qualche particolare contesto, in modo che tutti gli assiomi siano soddisfatti.
Daremo di seguito tre diversi contesti: possono essere modelli del nostro sistema assiomatico? (Attenzione! Per affermare che un certo contesto è un modello di un sistema assiomatico, bisogna verificare la validità di tutti gli assiomi scelti...)

Contesto 1: tre punti

In questo primo contesto, prendiamo:

  • come PUNTI, l'insieme con questi tre elementi P={A, B, C}
  • come RETTE i seguenti tre sottoinsiemi di punti: {A, B}, {B, C}, {A, C}
Affermiamo che questo contesto è un modello per il nostro sistema assiomatico. Perché? Verificate la validità dei quattro assiomi.

Contesto 2: cinque punti

In questo secondo contesto, prendiamo:

  • come PUNTI, l'insieme con questi cinque elementi P={A, B, C, D, E}
  • come RETTE tutti i sottoinsiemi da due punti.
Questo secondo contesto NON è un modello per il nostro sistema assiomatico. Perché? Quale assioma non è soddisfatto?

Contesto 3: Il piano cartesiano reale

In questo terzo contesto, prendiamo:

  • come PUNTI l'insieme delle coppie ordinate con e numeri reali;
  • come RETTE i sottoinsiemi di punti che soddisfano l'equazione lineare nelle incognite e
Il piano cartesiano reale è un modello per il nostro sistema assiomatico? Se vi è utile, potete usare la seguente schermata GeoGebra.

Attività ispirata a Hartshorne, R. (2000). Geometry: Euclid and beyond. Springer. p. da 66 - 67.

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