OT3.1 - Funktioiden tutkimista
Tehtävän ratkaisu sanallisine perusteluineen
Funktio on määritelty kaikkialla lukuunottamatta kohtia, joissa nimittäjä saa arvon 0. Komennon Ratkaise(Nimittäjä(f)=0,x) avulla ratkaistaan nimittäjän nollakohtien olevan x = 0 tai x = 2. Määrittelyehdoksi saadaan siis .
Funktion nollakohdat saadaan komennolla Ratkaise(f=0). Funtkio saa arvon nolla muuttujan kohdissa , ja . Nollakohtien likiarvot voidaan selvittää komennolla RatkaiseNumeerisesti(f=0) ja kahden desimaalin tarkkuudella nämä ovat , ja . Tarkan arvon saa likiarvoksi ja toisinpäin klikkaamalla sovelmassa CAS-laskimessa komennosta saadun ratkaisun kohdalla olevaa yhtä suuri kuin- tai suunnilleen yhtä suuri kuin -painiketta.
Paikalliset ääriarvot voidaan etsiä komennolla Ääriarvot(f), kuten sovelmassa on tehty. Ääriarvokohtien tiedetään löytyvän funktion derivaatan nollakohdista, joten ääriarvojen määrittämiseen voitaisiin hyödyntää myös esimerkiksi komentoa Ratkaise(f'=0). Funktiolla on kaksi paikallista maksimia, ja . Komennolla Ääriarvot(f) saadun listan kolmas piste on paikallinen minimi, .
Funktion f raja-arvoja positiivisessa ja negatiivisessa äärettömyyksissä voidaan tutkia komennoilla RajaArvo(f, ) ja RajaArvo(f, ). CAS-laskin antaa funktion f raja-arvoksi 2 negatiivisessa ja positiivisessa äärettömyydessä, joten funktiolla on asymptootti y=2. Asymptootti on merkattu Graafinäkymään katkoviivalla.
Funktiolla ei välttämättä ole yksikäsitteistä raja-arvoa kohdissa, joissa sitä ei ole määritelty. Näissä määrittelyjoukon reikäkohdissa raja-arvoa kannattaa tarkastella lähestymällä haluttua muuttujan arvoa molemmista suunnista. Tämä onnistuu CAS-laskimen komennoilla RajaArvoVasen ja RajaArvoOikea. Kohdassa raja-arvo lähestyy negatiivista ääretöntä vasemmalta ja oikealta tarkasteltaessa, eli tässä kohdassa funktio vähenee rajatta. Lähestyttyä kohtaa vasemmalta puolelta funktion f toispuoleinen raja-arvo vähenee rajatta ja oikealta lähestyttäessä raja-arvo taas kasvaa rajatta. Tässä kohdassa funktiolla ei siis ole raja-arvoa. Asymptootit ja on merkattu Graafinäkymään katkoviivoilla.
Raja-arvoja tutkimalla voidaan päätellä funktion f saavan kaikki arvot välillä . Funktiolla ei ole globaaleja ääriarvoja, sillä funktion arvot lähenevät negatiivista ja postiviista äärettömyyttä aiemmin mainituilla muuttujan arvoilla.