Gesucht! Hyperboloid - Loxodrome
- Autor:
- Walter Füchte
- Thema:
- Fläche, Parametrische Kurven, Körper, Oberfläche
Diese Aktivität ist eine Seite des geogebra-books "Loxodrome" ? Oder nicht ? (28.01.2020)
Ein einschaliges Rotations-Hyperboloid besitzt als orthogonale Parameterlinien die Meridian-Kreise und die rotierenden Hyperbeln. Gesucht sind die "Loxodrome" in unserem Sinne: also die Kurven, welche die obigen Parameterlinien unter konstantem Winkel schneiden. Ausgehend von der Parameterdarstellung lassen sich sehr schöne Spiral-Kurven definieren: man setze mit einer reellen "Steigung" . Leider schneiden diese Spiralen die Meridianen n i c h t unter konstantem Winkel! Die Suche im Internet ergab für uns nur einen Treffer:- Im Archiv der Mathematik und Physik mit besonderer Rücksicht auf die Bedürfnisse der Lehrer an höheren Unterrichtsanstalten 1846
Eine Bemerkung zur Definition der Loxodrome:
Man kann auf Flächen entweder eine flächeninterne Längen- und Winkelmessung oder aber die Metrik des umliegenden Raumes verwenden.
Beispiel: die Längenmessung auf der Kugel kann die sphärische Metrik oder aber die Metrik des umliegenden euklidischen Raumes sein.
Dies ist bei der Definition von Loxodromen zu berücksichtigen.
Beispiel: Ein rotationssymmetrisches Ellipsoid kann die von der Kugel durch Streckung/Stauchung in
-Richtung um und in -Richung um übertragene Winkel- und Längenmessung besitzen. Dann sind die Bilder der Kugel-Loxodrome unter dieser Skala-Änderung der Achsen auch "Loxodrome" auf dem Ellipsoid.
Legt man aber die Winkelmessung des umliegenden euklidischen Raumes zugrunde, dann sind diese Kurven keine "Winkel-Gleiche" mehr!
Loxodrome auf einem Ellipsoid sind nicht elementar zu berechnen: THE LOXODROME ON AN ELLIPSOID R. E. Deakin 2010
Diese schönen Spiralen auf einem Rotations-Ellipsoid sind nur dann Loxodrome ("Winkelgleiche"),
wenn das Ellipsoid eine Kugel ist: nur dann ist .