Volume de uma pirâmide
Considere a pirâmide P, de altura h e base de área , contida em um plano horizontal , e um plano , paralelo a e secante à pirâmide. O plano determina uma secção transversal de área , que é base da pirâmide Q de altura d (pirâmide menor) e semelhante à base . Se os lado da pirâmide P e os lados da pirâmide Q são os comprimentos dos lados correspondentes de dois polígonos semelhantes das áreas e ´, então:
Note, na figura anterior, que as respectivas faces laterais das pirâmides Q e P são triângulos semelhantes. Usando semelhança de triângulos, pode-se demonstrar que as bases de áreas e são polígonos semelhantes, com razão de semelhança
, então,Agora, considere duas pirâmides M e N de mesma medida h de altura, com bases de mesma área e contidas em um plano horizontal . Qualquer plano , paralelo a e secante às pirâmides, determina duas secções transversais de áreas e , respectivamente. Veja o exemplo na janela 3d abaixo.
Como = , concluímos que = para qualquer plano paralelo a . Com isso, pelo princípio de Cavalieri, como todas as secções transversais de duas pirâmides de mesma altura têm áreas iguais, então seus volumes são iguais. Provamos, assim, que duas pirâmides de mesma base e com mesma altura têm volumes iguais. Esse fato será utilizado a seguir para determinar o volume de uma pirâmide.
Fórmula do Cálculo do Volume da Pirâmide.
• as pirâmides I e II têm a mesma altura (altura do prisma), têm bases congruentes , pois cada triângulo é uma base do prisma) e, portanto, as pirâmides I e II têm o mesmo volume; • considerando as pirâmides II e III com respectivas bases e , a altura (distância do ponto ao retângulo ) dessas pirâmides é a mesma, têm bases congruentes (, pois cada um desses triângulos é a metade do retângulo ) e, portanto, novamente, as pirâmides II e III têm o mesmo volume. Logo, as pirâmides I, II e III têm o mesmo volume, ou seja, .
Seja = (soma dos volumes das três pirâmides) e considerando , temos: Assim, o volume de cada pirâmide é igual a do volume do prisma triangular dado. Como o volume do prisma é , podemos escrever: ouAbaixo, temos mais uma explicação com a Professora Angela.
ATIVIDADES RESOLVIDAS
1ª QUESTÃO: Em uma feira de artesanato, foi construída uma tenda com tecido no formato de uma pirâmide hexagonal regular com de altura e aresta da base medindo . Considerando que quem armou a tenda deixou uma das faces laterais como porta (sem fechamento do tecido), calcule a quantidade de tecido necessária para a cobertura da tenda. Resolução: Primeiro vamos representar a tenda e sua base:
Resolução:
Exercícios
A) Quantas faces possui essa pirâmide quadrangular regular?
B) a medida r do apótema da base da pirâmide.
c) a altura H da pirâmide.
D) Qual é a área de cada face lateral triangular?
E) a área da base da pirâmide.
F ) Qual a área total da pirâmide.
G) Qual é o volume da pirâmide quadrangular regular?
Dado: use a aproximação
3-Uma loja de chocolates produz bombons em formato de pequenas pirâmides de base quadrada. Cada bombom tem uma base de 2 cm de lado e uma altura de 3 cm. Se uma caixa contém 50 desses bombons, qual é o volume total de chocolate na caixa?
4-Um aquário tem o formato de uma pirâmide quadrangular regular. Sua base mede 4 metros de lado e a pirâmide tem uma altura de 5 metros. Se o aquário estiver completamente cheio, qual será o volume de água contido nele?
5-Em uma exposição de arte moderna, um artista apresenta uma obra no formato de uma pirâmide triangular regular, cuja base tem lado de 6 metros e a altura da pirâmide tem 9 metros. Qual é o volume dessa obra de arte?