Volume de uma pirâmide

Considere a pirâmide P, de altura h e base de área , contida em um plano horizontal , e um plano , paralelo a e secante à pirâmide. O plano determina uma secção transversal de área , que é base da pirâmide Q de altura d (pirâmide menor) e semelhante à base . Se os lado da pirâmide P e os lados da pirâmide Q são os comprimentos dos lados correspondentes de dois polígonos semelhantes das áreas e ´, então:

Note, na figura anterior, que as respectivas faces laterais das pirâmides Q e P são triângulos semelhantes. Usando semelhança de triângulos, pode-se demonstrar que as bases de áreas e são polígonos semelhantes, com razão de semelhança

, então,

Agora, considere duas pirâmides M e N de mesma medida h de altura, com bases de mesma área e contidas em um plano horizontal . Qualquer plano , paralelo a e secante às pirâmides, determina duas secções transversais de áreas e , respectivamente. Veja o exemplo na janela 3d abaixo.

Vimos anteriormente que a razão entre a área da base e da secção transversal de cada pirâmide vale

. Logo, =

Como = , concluímos que = para qualquer plano paralelo a . Com isso, pelo princípio de Cavalieri, como todas as secções transversais de duas pirâmides de mesma altura têm áreas iguais, então seus volumes são iguais. Provamos, assim, que duas pirâmides de mesma base e com mesma altura têm volumes iguais. Esse fato será utilizado a seguir para determinar o volume de uma pirâmide.

Fórmula do Cálculo do Volume da Pirâmide.

Para calcular o volume de uma pirâmide qualquer, primeiramente, vamos considerar o prisma reto de base triangular. Esse prisma pode ser decomposto em três pirâmides triangulares, como mostram as figuras a seguir. a seguir.

Observe que:

• as pirâmides I e II têm a mesma altura (altura do prisma), têm bases congruentes , pois cada triângulo é uma base do prisma) e, portanto, as pirâmides I e II têm o mesmo volume; • considerando as pirâmides II e III com respectivas bases e , a altura (distância do ponto ao retângulo ) dessas pirâmides é a mesma, têm bases congruentes (, pois cada um desses triângulos é a metade do retângulo ) e, portanto, novamente, as pirâmides II e III têm o mesmo volume. Logo, as pirâmides I, II e III têm o mesmo volume, ou seja, .

Seja

(soma dos volumes das três pirâmides) e considerando

, temos:

Assim, o volume de cada pirâmide é igual a

do volume do prisma triangular dado. Como o volume do prisma é

, podemos escrever:

Abaixo, temos mais uma explicação com a Professora Angela.

ATIVIDADES RESOLVIDAS

1ª QUESTÃO: Em uma feira de artesanato, foi construída uma tenda com tecido no formato de uma pirâmide hexagonal regular com de altura e aresta da base medindo . Considerando que quem armou a tenda deixou uma das faces laterais como porta (sem fechamento do tecido), calcule a quantidade de tecido necessária para a cobertura da tenda. Resolução: Primeiro vamos representar a tenda e sua base:

No triângulo

é a medida do apótema da base, então:

Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo

, temos:

pois

Cálculo de área

de uma face da pirâmide:

Como uma das faces laterais não usará tecido (porta), a área lateral será dada por:

Portanto, serão necessários

de tecido. Se resolvemos essa expressão, teremos um resultado mais preciso, veja:

de tecido.

Como

, precisamos determinar a área da base

A base é um quadrado, logo:

. Cálculo do volume (V):

Portanto, o volume da pirâmide é

Resolução:

Exercícios

1-Em uma pirâmide quadrangular regular, cada aresta lateral mede 15 cm e cada aresta da base mede 18 cm. Calcule e marque alternativa correta:

A) Quantas faces possui essa pirâmide quadrangular regular?