B2 Zerfallsgesetz - Überprüfung
Zerfallsgesetz, Halbwertszeit und Aktivität
Im letzten Teil des Lernpfads sollten Sie erkannt haben, dass unsere mathematischen Modelle einen exponentiellen Zerfall vorhersagen. Bevor dieser exponentielle Zerfall im Versuch überprüft wird, müssen einige Definitionen festgelegt werden. Außerdem erhalten Sie bereits vor der Bestätigung ein paar Übungsaufgaben zum Verständnis. Verstehen Sie die folgenden Definitionen:
Definition: Zerfallsgesetz und Aktivität
Besteht eine Probe von radioaktivem Material aus N radioaktiven Kernen, so gibt die Gleichung die Anzahl der Kerne nach der Zeit t an. Dabei beschreibt die Anzahl der Kerne zu Beginn der Messung und die sog. Zerfallskonstante des Kerns (welche mit der Zerfallswahrscheinlichkeit zusammenhängt).
Die Anzahl der Zerfälle Pro Sekunde wird Aktivität A genannt. Die Aktivität entspricht also dem negativen der zeitlichen Ableitung der Teilchenzahl N. Daher gilt: . Die Einheit der Aktivität ist "Bequerel".
Definition: Halbwertszeit und mittlere Lebensdauer
Da bei Exponentiellen statistischen Verteilungen der Erwartungswert für die Lebensdauer eines Teilchens bei liegt, wird diese Zeit "mittlere Lebensdauer " genannt.
Manchmal – insbesondere auf dem Gebiet der Radioaktivität – wird statt der Lebensdauer die Halbwertszeit verwendet, d. h. die Zeit, nach welcher die Hälfte der ursprünglichen Teilchen noch vorhanden ist. Bei Vorliegen einer Exponentialverteilung errechnet sich die Halbwertszeit aus der Lebensdauer bzw. der Zerfallskonstante mit: .
Verstehen Sie nun die folgenden Mathematischen Zusammenhänge zwischen , und mit Hilfe der folgenden Fragen:
Was bedeutet die mittlere Lebensdauer noch?
Zeigen Sie durch eine Rechnung: "Die mittlere Lebensdauer entspricht der Zeit, nach der die Anzahl der Teilchen auf 1/e gefallen ist. Das heißt also: zu diesem Zeitpunkt sind nur noch etwa der ursprünglichen Kerne vorhanden."
Warum hängen die Lebensdauer, die Halbwertszeit und die Zerfallskonstante zusammen?
Oben wurde behauptet, dass gilt: und . Beweisen Sie diese Zusammenhänge. Hinweis: Sie benötigen die Zerfallsgleichung und die Tatsache, dass die Halbwertszeit die Zeit ist, nach der noch die Hälfte aller ursprünglichen Kerne vorhanden ist!
Übungen zum Verständnis:
In einer Probe befinden sich 10000 Kerne von . Dieses besitzt eine Halbwertszeit von 28s. a) Stellen Sie die Zerfallsgleichung für diese Probe auf!
b) Berechnen Sie die Anzahl der Kerne, die nach 40 Sekunden noch übrig sind. Berechnen Sie außerdem die Aktivität dieser Kerne nach 40 Sekunden!
c) Berechnen Sie, nach welcher Zeit nur noch 10% der ursprünglichen Kerne vorhanden sind!
Verstehen Sie nun den folgenden Versuchsaufbau zur Bestätigung des Zerfallsgesetzes. An Station "Station B2 - Versuch zur Zerfallsgesetz" finden Sie den Versuchsaufbau, welchen Sie zusammen mit ihrer Lehrkraft durchführen können.
Versuch
Das Zerfallsgesetz soll nun im Versuch überprüft werden:
Versuchsaufbau
In einer weichen Plastikdose befindet sich das Radioaktive Thorium-Isotop . Dieses Zerfällt über mehrere Zerfälle in das gasförmige Radon-Isotop , welches sich in der Plastikdose ansammeln kann und eine Halbwertszeit von 55,6 s besitzt.
Dieses Radioaktive Gas kann dann durch zusammendrücken der Dose über einen Schlauch in eine Metallkammer (ähnlich dem GMZ) gebracht werden. Zwischen der Metallkammerwand und einem Metallstift in der Kammer ("Innenelektrode") wird eine Spannung angelegt.
Das radioaktive Radongas erzeugt in der Kammer Ionen und Elektronen, welche (ähnlich wie beim GMZ) über die Spannung "abgesaugt" werden und über das Amperemeter als Stromfluss I registriert werden. Je mehr Radioaktive Teilchen N in der Kammer sind, desto größer ist ihre Aktivität A. Dementsprechend werden auch mehr Ionen erzeugt und der gemessene Stromfluss ist größer. Es gilt also , so dass die Stromstärke direkt mit der Anzahl der Teilchen zusammenhängt.
Führen Sie den Versuch nun zusammen mit der Lehrkraft durch und begründen Anhand der ermittelten Messdiagramme, warum das Zerfallsgesetz damit bestätigt ist. (Falls der Versuch nicht durchführbar ist, können Sie das folgende Diagramme verwenden. Dort ist auch eine Ausgleichskurve durch die Messwerte gelegt.)
Inwiefern ist dieser Ausgleichskurve ein Nachweis für das Zerfallsgesetz?
Sie sollten nun folgendes gelernt haben:
- Sie können mit dem Zerfallsgesetz, der Halbwertszeit, der mittleren Lebensdauer und mit der Aktivität rechnen.