O que o produto escalar representa?
Que tipo de coisa é o produto escalar?
Dados dois vetores e , o produto escalar é
Quem não atrapalha ajuda?
O produto escalar mede o quanto dois vetores se reforçam. Imagine um vagão de trem sobre trilhos, como no aplicativo abaixo. Imagine que uma pessoa está empurrando o vagão para a frente, na direção e no sentido do vetor . Imagine que outra pessoa está empurrando o vagão na direção e no sentido do vetor . O valor de representa o quanto as duas pessoas se ajudam ou se atrapalham. No aplicativo abaixo, em que situações as pessoas se ajudam?
Acertando no ângulo
No aplicativo abaixo, os dois vetores mantêm seus comprimentos, mas o ângulo entre eles varia de acordo com a situação. Em que situação o produto escalar tem o maior valor?
Em que situação o produto escalar tem o menor valor?
Em que situação o produto escalar tem valor zero?
Relação entre o cosseno do ângulo e o produto escalar
Observe, no aplicativo acima, como o valor de muda de acordo com o valor de . Escreva suas conclusões.
Tamanho não é documento?
No aplicativo abaixo, os dois vetores mantêm o ângulo entre eles, mas o comprimento de um deles varia de acordo com a situação. Em que situação o produto escalar tem o maior valor?
Em que situação o produto escalar tem o menor valor?
Mantendo o ângulo entre os dois vetores e no aplicativo abaixo, é possível o valor de ser zero? Se sim, quando? Se não, por quê?
Arrá
- do cosseno do ângulo entre os vetores e
- dos comprimentos dos vetores.
- Se o comprimento de aumenta, o valor de aumenta.
- Se o comprimento de aumenta, o valor de aumenta.
- Se o cosseno de aumenta, o valor de aumenta.
- Se um dos fatores é zero, o valor de é zero.
Combinamos sempre considerar o menor dos ângulos entre dois vetores. Ou seja, sempre vai estar entre zero e 180 graus. Então, dados dois vetores, qual o único ângulo entre eles cujo cosseno é zero?
Você costuma se dar bem em sorteios?
- Os módulos dos dois vetores (ou usando as coordenadas, ou achando triângulos retângulos na figura).
- O cosseno do ângulo entre eles (achando um triângulo retângulo na figura; não precisa achar o valor do ângulo).
- O produto escalar entre eles.
Coordenadas
e
Podemos calcular o produto escalar como Ou seja, multiplicamos as coordenadas dos dois vetores, multiplicamos as coordenadas dos dois vetores e somamos os dois resultados. A proposição 4.10, no capítulo 4 do pdf usado no curso, mostra por que as duas maneiras de calcular o produto escalar -- (1) usando módulos e cosseno do ângulo e (2) usando as coordenadas -- são equivalentes. O raciocínio usa a lei dos cossenos. Pesquise a respeito. Imagine que você já calculou o produto escalar deste jeito. Imagine que você também já calculou, a partir das coordenadas, os módulos e dos dois vetores. Você pode descobrir o cosseno do ângulo entre os vetores fazendoEntão, volte para o aplicativo acima, sorteie novos vetores, e calcule, a partir das coordenadas deles, o produto escalar, os módulos e o cosseno do ângulo entre eles.
DESAFIO
Observe bem o aplicativo abaixo. Aperte o botão para iniciar e parar a animação. Você consegue explicar, em detalhes, por que o valor do produto escalar é igual à área do retângulo mostrado (multiplicada ou não por de acordo com o caso)?
Nuove risorse
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