Propositie 16
De buitenhoek van een driehoek is groter dan elk van de twee niet-aanliggende binnenhoeken.
Inleiding
In propositie 16 bewijst Euclides dat een buitenhoek altijd groter is dan elke niet-aanliggende binnenhoek. Misschien heb je al geleerd dat een buitenhoek exact gelijk is aan de som van de twee niet-aanliggende binnenhoeken. Die sterkere uitspraak bewijst Euclides pas in propositie 32, samen met de hoekensom van een driehoek. Daar heeft hij het omstreden vijfde "parallellenpostulaat" voor nodig. Het lijkt dus wel dat Euclides het gebruik van dit postulaat zoveel mogelijk wilt uitstellen. De eerste keer dat het vijfde postulaat ter sprake komt is in propositie 29. Voor meer uitleg over het vijfde postulaat: zie de inleiding bij "postulaten".
Waarom Euclides dit vijfde postulaat zo lang lijkt uit te stellen weten we natuurlijk niet, maar het is iets dat wiskundigen al eeuwenlang intrigeert.
Oude versie
In elke driehoek is de buitenhoek groter dan elk van de niet-aanliggende binnenhoeken.
ABC is een driehoek en de zijde BC is verlengd tot D. Ik zeg dat de buitenhoek ACD groter is dan elk van de niet-aanliggende binnenhoeken CBA en BAC.
Halveer AC in E. (prop 10)
Trek BE en verleng dit in rechte lijn tot F. (post 1)
Maak EF gelijk aan BE. (prop 3)
Trek FC. (post 1)
Verleng AC tot G. (post 2)
Omdat AE gelijk is aan EC en BE gelijk aan EF, zijn de twee zijden AE en EB gelijk aan de twee zijden CE en EF. De hoek AEB is gelijk aan de hoek FEC, want het zijn overstaande hoeken. (prop 15)
Dus is de basis AB gelijk aan de basis FC, de driehoek ABE gelijk aan de driehoek CFE, en de overige hoeken gelijk aan de overige hoeken, namelijk die welke de gelijke zijden overspannen. Dus is de hoek BAE gelijk aan de hoek ECF. (prop 4)
Maar de hoek ECD is groter dan de hoek ECF. (ai 5)
Dus is de hoek ACD groter dan de hoek BAE.
Op dezelfde manier kan, als BC gehalveerd wordt, bewezen worden dat de hoek BCG, dat is de hoek ACD, (prop 15) ook groter is dan de hoek ABC.