Massimi e minimi vincolati: l'Hessiano orlato
RICONOSCERE I PUNTI ESTREMALI: ANCORA TAYLOR
Nel paragrafo precedenti abbiamo definito una condizione necessaria per i punti di massimo e minimo vincolati: per tutti i punti di questo tipo le derivate prime parziali della funzione Lagrangiana
sono pari a zero. Ora è necessario capire come è possibile distinguere quali, tra questi punti, sono effettivamente di massimo o minimo e quali hanno caratteristiche di altro tipo.
Riprendiamo lo sviluppo di Taylor che indica la variazione di output di un funzione a due variabili quando ci si sposta di un tratto infinitesimo di componenti rispetto ad un punto di riferimento che soddisfa la condizione necessaria e quindi potrebbe essere di massimo o di minimo. .
Come abbiamo ricordato i punti che ci interessa valutare sono potenzialmente di minimo e massimo, quindi soddisfano la condizione necessaria ed hanno le derivate prime nulle, per cui come nel caso non vincolato l'espressione si riduce a
Quindi la variazione di output dato dallo spostamento è pari a
A questo punto è necessario ricordare che noi stiamo cercando un punto estremale vincolato, quindi lo spostamento infinitesimo non ci interessa in una direzione qualsiasi, ma solo lungo il vincolo che ci è stato chiesto di rispettare.
Come abbiamo detto il vincolo può essere visto come una curva di livello della funzione generale , quindi per muoverci lungo tale curva di livello lo spostamento da compiere dovrà essere perpendicolare al gradiente della funzione. Dalla geometria analitica elementare sappiamo che due rette perpendicolari hanno coefficienti angolari antireciproci tra loro
che, considerando la definizione di coefficiente angolare , si traduce in
Dato che e sono proprio le componenti dello spostamento infinitesimo lungo la retta di coefficiente angolare , quello che abbiamo ottenuto è che il vettore perpendicolare è definito da componenti scambiate tra loro, di cui una è cambiata di segno.
Il vettore ha componenti e , che definiscono anche il coefficiente angolare della retta a cui appartiene. Il vettore , che appartiene alla retta che è perpendicolare ad , ha le due componenti invertite, ed una ha segno opposto. Il vettore mostra chiaramente che è indifferente a quale delle due componenti viene cambiato il segno.
Poichè lo spostamento lungo il quale dobbiamo valutare la variazione di output della funzione che stiamo studiando deve avvenire lungo la curva [di livello] definita dal vincolo, esso deve essere perpendicolare al gradiente della funzione associata al vincolo e quindi deve essere ad esempio . Se sostituiamo queste componenti nell'approssimazione di Taylor della variazione otteniamo:
che, elaborata leggermente, diventa
Studiando il segno di questa espressione, ed in particolare della parentesi quadrata, possiamo capire la natura del punto critico analizzato:
- se la variazione di output è positiva significa che in qualsiasi modo ci spostiamo dal punto in esame il risultato aumenta, quindi siamo in un punto di minimo;
- se l'espressione è negativa significa che in qualsiasi modo ci spostiamo dal punto in esame il risultato diminuisce, quindi siamo in un punto di massimo.
UN ESEMPIO CONCRETO: MASSIMIZZAZIONE DELLA PRODUZIONE A COSTO FISSATO
La funzione di Cobb-Douglas è un modello che data la quantità di lavoro e di capitale (macchinari ed altri artefatti) investiti, fornisce la quantità di bene prodotti. La sua forma è
Ci poniamo il problema di ottenere la combinazione ottimale di capitale e lavoro, cioè quella che massimizza la produzione rispettando il vincolo per cui il costo (dove e sono i rispettivi costi unitari del due fattori di produzione) sia pari ad un certo valore fissato .
Si tratta di un problema di massimo vincolato, con vincolo e quindi può essere risolto tramite la Lagrangiana
Le condizioni necessarie sui punti critici, cioè l'annullamento delle derivate prime, sono
La terza condizione non è altro che il soddisfacimento del vincolo; più interessanti le prime due, che come sappiamo indicano che il gradiente della funzione Q e quello della funzione associata al vincolo devono essere paralleli, in modo che muovendosi lungo il vincolo non ci sia, nel punto critico, nessuna componente utile a variare l'output di Q. Questo significa che nel punto critico ottimale le curve di livello della funzione e del vincolo (quest'ultimo essendo il vincolo stesso) sono parallele, quindi toccandosi (il punto appartiene ad entrambe) sono tangenti.
Questo permette di risolvere graficamente il problema, che può essere risolto non solo con l'Hessiano Orlato, ma anche tramite sostituzione dato che il vincolo è lineare e facilmente invertibile; oltre a permettere di visualizzare la soluzione evitando conti complessi, questo approccio permette alcune utili rifllessioni. Vediamo un esempio.
Nel grafico sottostante la funzione di Cobb-Douglas ha parametri , ed i costi unitari dei fattori di produzione sono e ; vincolando il costo a il vincolo ha espressione .
In 3D la funzione di Cobb Douglas dell'esempio e la relativa curva di livello della produzione, che è riportata in blu anche sul piano 2D , su cui è possibile visualizzare il gradiente in un punto della curva, le cui componenti sono le derivate parziali della funzione. Più semplice è la curva del vincolo sui costi, una retta, il cui gradiente ha quindi la stessa direzione per ogni punto. Agendo sullo slider blu è possibile cambiare il valore della produzione per cui considerare la curva di livello, e cercare quella tangente al vincolo. Questo approccio manuale replica il disegnare varie curve di livello alla ricerca di quella tangente.
Agendo sullo slider rosso si può passare alla modalità che abbiamo utilizzato in altre animazioni sui gradienti e curve di livello: si trascinando il punto arancione ci si muove anche sull'intersezione in 3D tra vincolo e funzione di CB, e la curva di livello si attesta automaticamente sul valore della produzione in quel punto, rendendo più semplice trovare in punto di tangenza.