El gradiente como organizador geométrico
Sabemos que
.
Entonces,
si y solo si u es perpendicular a .
Surge la pregunta:
¿Qué significado geométrico
tienen esas direcciones
donde la derivada direccional es cero?
En esta experiencia estudiarás
qué ocurre en las direcciones
donde la función no cambia.
1) Fija un punto moviéndolo
sobre el dominio.
2) Activa la curva de nivel que pasa por .
3) Mueve el ángulo y observa el valor
de .
Busca direcciones unitarias tales que
.
4) Cuando encuentres una,
compárala visualmente
con la dirección del gradiente en .
¿Cómo están ubicadas entre sí?
5) Observa además cómo esa dirección
se comporta respecto de la
curva de nivel que pasa por .
Según lo analizado:
• ¿Qué tipo de dirección es aquella
donde la derivada direccional es cero?
• ¿Qué relación parece existir
entre esa dirección y el gradiente?
Detalle algebraico de la experiencia anterior
Sea u tangente a una curva de nivel
.
Como el valor de f no cambia
sobre esa curva,
la tasa de cambio en dirección tangente es cero.
Es decir,
.
Pero sabemos que
.
Por tanto,
.
Conclusión:
El gradiente es perpendicular
a la curva de nivel en .
Resumen: propiedades del gradiente en dos variables
Sea una función suficientemente regular.
En un punto :
• El gradiente es
.
• La derivada direccional satisface
.
• La dirección de máximo crecimiento
es la dirección del gradiente.
• La tasa máxima de cambio es
.
• El gradiente es perpendicular
a las curvas de nivel .
El gradiente organiza completamente
la información direccional de la función.
Aplicación geométrica: descenso en un terreno
Imaginemos que representa
la altura de un terreno.
Un riachuelo que cae sobre ese terreno
tiende a moverse por donde la altura
disminuye más rápidamente.
Es decir,
en cada punto sigue la dirección
de mayor descenso local.
El siguiente applet modela ese fenómeno.
• El punto es el punto inicial.
• La superficie representa el terreno.
• Las curvas de nivel representan igual altura.
• La trayectoria azul representa el descenso.
Antes de observar,
deberás predecir lo que ocurrirá.
Actividad: Descenso y estructura del gradiente
Parte 1 — Predicción sin vectores
1) Asegúrate que la visualización del gradiente este desactivada.
2) Elige un punto inicial A.
3) Observando solo las curvas de nivel,
responde antes de iniciar el descenso:
a) ¿Hacia qué zona crees que se moverá el agua?
b) ¿Dónde parece disminuir más rápido la altura?
c) ¿Crees que podría pasar por un máximo?
Justifica.
4) Ahora inicia el descenso.
¿Coincidió con tu predicción?
Explica por qué.
Parte 2 — Relación con el gradiente
5) Activa la visualización del gradiente
y observa también su norma .
6) Compara:
a) ¿En qué dirección comienza la trayectoria?
b) ¿Qué relación tiene con el gradiente?
c) ¿Cómo corta las curvas de nivel?
Parte 3 — Cerca de puntos críticos.
7) En el tercer cuadrante puedes observar una X,
que representa un pozo (mínimo local).
a) Elige un punto A de modo que el río fluya hacia ese pozo.
b) Observa cómo cambia el valor de ||∇f(A)|| a medida
que la trayectoria se aproxima al fondo.
c) ¿Qué ocurre con la “rapidez” del descenso cerca del pozo?
d) ¿Qué relación parece existir entre la norma del gradiente
y la inclinación del terreno?
8) En los otros cuadrantes, las X representan tres cimas distintas
(máximos locales o globales).
a) Parte desde un punto A cercano a una cima.
b) Observa el comportamiento inicial del descenso.
c) ¿Qué puedes decir sobre ||∇f(A)|| muy cerca de la cima?
d) ¿Por qué el río no puede permanecer en una cima
salvo que parta exactamente en ella?
Reflexiona:
¿Qué tienen en común los pozos y las cimas
respecto al valor del gradiente?
Hemos visto que:
• El gradiente organiza todas las tasas de cambio.
• Indica la dirección de máximo crecimiento.
• Su opuesto modela el máximo descenso.
• Es perpendicular a las curvas de nivel.
• Su norma mide la intensidad del cambio local.
El “paquete”
contiene toda la información direccional
de la función en el punto .
En la siguiente sección ampliaremos esta idea:
Veremos que el gradiente también puede estudiarse
para funciones de tres variables.
Eso permitirá interpretar superficies
como niveles de funciones más generales,
y nos conducirá naturalmente
al estudio del plano tangente
y de la aproximación local de una función.