Nastro di Moebius
Nastro di Moebius
In uno spazio 3D si operi una rotazione del sistema di riferimento xyz di un angolo α rispetto all’asse z; si
proceda quindi ad una traslazione del medesimo riferimento secondo il vettore v1= (rcosα, rsinα,b) con
r >0 e b> 0. Il riferimento rototraslato XYZ avrà così l’origine nel punto C =(rcosα, rsinα, b) ed il suo asse delle ascisse X sarà allineato con la direzione del vettore v = (rcosα, rsinα, 0), proiezione di v1 sul piano xy. Si consideri poi il segmento AB con il punto di mezzo in C e giacente nel piano XZ. Con riferimento a quanto detto, l’elaborato presenta due modalità di costruzione del nastro di Moebius
1) il segmento AB ruoti intorno all’asse z con raggio r ed angolo α e, contemporaneamente, ruoti intorno al punto C di un angolo α/2 nel piano XZ in cui giace. Usando il comando Successione, il comando Ruota,
nidificato una volta, e facendo variare l’angolo α da 0 a 2π, si ottiene una rappresentazione grafica del nastro di Moebius. Si noti che se si immagina di muoversi lungo il bordo inferiore/superiore ci si ritrova poi sul bordo superiore/inferiore senza aver attraversato la “faccia” della superficie, a dimostrazione della proprietà del nastro di Moebius di avere una sola “faccia”;
2) le equazioni parametriche del segmento AB, indicato con 2k la sua lunghezza, nel riferimento XYZ sono le seguenti: X= hcos α/2 ; Y=0; Z=hsin α/2 per h tale che -k ≤ h ≤k. Nel riferimento xyz, tenendo presente quanto detto al punto (1), le equazioni parametriche di AB sono:
x = (r+hcos(α/2))cosα, y = ( r+hcos(α/2))sinα; z = b + hsin/2. Usando il comando Superficie
con 0 ≤ α ≤ 2π e -k ≤ h ≤ k, si ottiene una seconda rappresentazione grafica del nastro di Moebius. Da notare che le due superfici sono uguali come è possibile dimostrare sovrapponendole.