M1.III.11 L Ableitung mit Geradenstückchen
Leitfrage zu Phase 11
Wie sieht der Graph der Ableitungsfunktion aus?Vorübung
Als händische Vorerfahrung für das unten näher erläuterte digitale Arbeitsblatt M1.III.11 AB Ableitung mit Geradenstücken bietet es sich an, den Graphen einer Funktion (z.B. den aus Beispiel 2) groß auszudrucken. Die SuS zeichnen mit Stift und Lineal an verschiedenen Stellen Tangenten nach Augenmaß ein und bestimmen deren Steigungen. Sie notieren die Stellen zusammen mit den jeweiligen Werten für die Tangentensteigung, zeichnen diese Wertepaare als Punkte im Graphen ein und versuchen einen Funktionsgraphen durch diese Punkte zu legen.
Punktweise graphisch ableiten
Im digitalen Arbeitsblatt
M1.III.11 AB Ableitung mit Geradenstücken
bearbeiten die SuS mehrere gleichartig aufgebaute Applets (Beispiele 1,2 und 3) mit unterschiedlichen Funktionsgraphen:
In regelmäßigen Abständen sind in Punkten an einem Funktionsgraphen Strecken angebracht, die sich drehen lassen. Die Aufgabe besteht dann darin, sie nach Augenmaß so zu drehen, dass sie den Graphen in diesem Punkt möglichst gut approximieren, also tangential werden (Grundvorstellung lokale lineare Approximation). Durch das Drehen einer Strecke wird außerdem ein zugehöriger Punkt (markiert als rotes Quadrat), der sich in der Ausgangssituation an der gleichen Stelle auf der x-Achse befindet, so bewegt, dass seine y-Koordinate der Steigung der jeweiligen Strecke entspricht.
Wichtige Zwischenerkenntnis: Diese Punkte gehören zum Graphen der Ableitungsfunktion.
Die SuS skizzieren nun im Applet einen möglichst gut passenden Funktionsgraphen und stellen Vermutungen über die zugehörige Funktionsklasse der Ableitungsfunktion an.
In Aufgabe 3 mit Applet Beispiel 3 erzeugen die SuS weitere Punkte mit Geradenstückchen (durch einen vorkonfigurierten Werkzeug-Button) und überprüfen damit ihren vermuteten Ableitungsgraphen.
In weiteren Übungen können andere Funktionen untersucht werden durch Aufgabe 4 mit dem Applet
M1.III.11 App Ableitung Geradenstücke.
Darin können die SuS selbst andere Funktionsgleichungen für die Bestandsfunktion eingeben.
M1.III.11 AB Ableitung mit Geradenstücken
bearbeiten die SuS mehrere gleichartig aufgebaute Applets (Beispiele 1,2 und 3) mit unterschiedlichen Funktionsgraphen:
In regelmäßigen Abständen sind in Punkten an einem Funktionsgraphen Strecken angebracht, die sich drehen lassen. Die Aufgabe besteht dann darin, sie nach Augenmaß so zu drehen, dass sie den Graphen in diesem Punkt möglichst gut approximieren, also tangential werden (Grundvorstellung lokale lineare Approximation). Durch das Drehen einer Strecke wird außerdem ein zugehöriger Punkt (markiert als rotes Quadrat), der sich in der Ausgangssituation an der gleichen Stelle auf der x-Achse befindet, so bewegt, dass seine y-Koordinate der Steigung der jeweiligen Strecke entspricht.
Wichtige Zwischenerkenntnis: Diese Punkte gehören zum Graphen der Ableitungsfunktion.
Die SuS skizzieren nun im Applet einen möglichst gut passenden Funktionsgraphen und stellen Vermutungen über die zugehörige Funktionsklasse der Ableitungsfunktion an.
In Aufgabe 3 mit Applet Beispiel 3 erzeugen die SuS weitere Punkte mit Geradenstückchen (durch einen vorkonfigurierten Werkzeug-Button) und überprüfen damit ihren vermuteten Ableitungsgraphen.
In weiteren Übungen können andere Funktionen untersucht werden durch Aufgabe 4 mit dem Applet
M1.III.11 App Ableitung Geradenstücke.
Darin können die SuS selbst andere Funktionsgleichungen für die Bestandsfunktion eingeben.Wichtige Erkenntnisse dieser Phase
- Mit der Ableitung (an der Stelle ) lässt sich die Funktion in der Nähe von durch die Tangente, also die Gerade durch den Berührpunkt mit der Steigung , annähern (lokale lineare Approximation).
- Die Ableitungsfunktion einer Polynomfunktion dritten Grades ist eine quadratische Funktion.
- Die Ableitungsfunktion einer quadratischen Funktion ist eine lineare Funktion.
- Die Ableitungsfunktion einer trigonometrischen Funktion ist wieder trigonometrische Funktion.
Unterrichtsmaterial
Digitales Arbeitsblatt M1.III.11 AB Ableitung mit Geradenstücken
oder Applet M1.III.11 App Ableitung Geradenstücke
M1.III.11 AB Ableitung mit Geradenstücken
oder Applet M1.III.11 App Ableitung GeradenstückeZeitbedarf
1-2h
Übungen
- Untersuchung weiterer Funktionsgleichungen in Aufgabe 4 mit Applet M1.III.11 App Ableitung Geradenstücke.
- Schulbücher: Elemente der Mathematik (2017 Lk) S. 73 Einstiegsaufgabe; S. 75-78 Lambacher Schweizer (2022 Lk) S. 52 Nr. 5, 6
- Schulbücher: Elemente der Mathematik (2017 Lk) S. 73 Einstiegsaufgabe; S. 75-78 Lambacher Schweizer (2022 Lk) S. 52 Nr. 5, 6
- o-mathe Kapitel Differentialrechnung 2. Ableitungsfunktion 3. Grafisches Ableiten 3. Übungen - Grafisches Ableiten