A Constante Oculta — Uma Investigação da Lei dos Senos
Introdução
A Lei dos Senos é frequentemente apresentada como uma fórmula fundamental para resolver triângulos. Mas ela revela algo mais profundo: uma propriedade intrínseca de proporcionalidade que todos os triângulos possuem. Nesta atividade, vamos inverter a abordagem usual. Em vez de partirmos dos ângulos, construiremos triângulos a partir das medidas de seus lados (critério Lado-Lado-Lado, ou LLL) para testar a robustez dessa lei e descobrir o significado geométrico do "fator de proporcionalidade" que dela emerge. Será que qualquer combinação de três lados forma um triângulo? E qual é a natureza da constante que a Lei dos Senos revela? Vamos investigar.
Objetivos de Aprendizagem
- Verificar empiricamente a validade da Lei dos Senos para qualquer triângulo válido.
- Determinar a condição de existência de um triângulo (Desigualdade Triangular) através da manipulação de seus lados.
- Identificar e interpretar o significado geométrico do "fator de proporcionalidade" da Lei dos Senos.
- Conectar a Lei dos Senos com a Lei dos Cossenos em casos de resolução de triângulos.
- Aplicar a Lei dos Senos em problemas práticos de triangulação.
Instruções:
O mathlet à sua frente permite que você defina um triângulo especificando os comprimentos dos seus três lados (a,b,c) através dos controles deslizantes. O sistema calcula automaticamente os ângulos e as razões da Lei dos Senos. Faça as verificações sugeridas a seguir:
1) Primeira Verificação:
- O que você observa sobre o ângulo C (oposto ao lado c)?
- Anote os valores das três razões: , e .
2) Condição de Existência:
- O que acontece com a construção?
- É possível formar um triângulo?
- Manipule os controles para descobrir a relação matemática que os lados a, b e c devem satisfazer para que um triângulo possa ser formado.
- Enuncie esta regra (a Desigualdade Triangular).
3) Investigando a Constante:
- Anote o valor do fator de proporcionalidade.
- Agora, crie um novo triângulo semelhante ao primeiro, multiplicando todos os lados por um fator constante (ex: a = 10, b = 12 e c = 14).
- O que aconteceu com os ângulos do triângulo?
- E o que aconteceu com o fator de proporcionalidade?
- Formule uma hipótese sobre essa constante.
Questão 1 - A Prova pela Área:
A exploração sugere que a Lei dos Senos é válida. Uma das provas mais elegantes para esta lei utiliza a fórmula da área de um triângulo. Sabendo que a área de um △ABC pode ser expressa como K = ou K = , ou ainda, K = , desenvolva o argumento algébrico para demonstrar a Lei dos Senos.
Questão 2 - O Significado do Fator:
O "fator de proporcionalidade" é, na verdade, o diâmetro (2R) do círculo que circunscreve o triângulo. Explique, com auxílio de um esboço, por que a razão é igual a 2R. (Dica: No círculo circunscrito, crie um novo triângulo a partir do lado a usando o diâmetro como um dos outros lados).
Questão 3:
Um triângulo tem lados a = 10, b = x e c = 12. Para que o triângulo exista, o valor de x deve pertencer ao intervalo:
Questão 4 (Verdadeiro ou Falso):
Para resolver um triângulo onde se conhecem apenas os três lados (LLL), o primeiro passo mais eficiente é usar diretamente a Lei dos Senos para encontrar um ângulo. Justifique.
Questão 5 - Topografia:
Para medir a altura de uma montanha, um topógrafo mede o ângulo de elevação do pico a partir de um ponto A, obtendo 30∘. Ele então se afasta 1000 metros em linha reta do pico para um ponto B e mede um novo ângulo de elevação de 20∘. Qual é a altura da montanha? (Use a Lei dos Senos no triângulo formado pelos pontos A, B e o pico da montanha).
Questão 6 - Navegação:
Um navio detecta um farol a um ângulo de 40∘ em relação à sua rota. Após navegar 20 milhas, o mesmo farol é detectado a um ângulo de 70∘. Qual é a distância do navio ao farol neste segundo momento?
A matemática é uma construção coletiva. Este espaço é seu!
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