Ellipse: Zur Berechnung der Krümmungskreise
- Autor:
- Andreas Lindner
- Thema:
- Ellipse
Um die Krümmungskreise einer Ellipse zu konstruieren, gibt es eine einfache Vorgangsweise:
- Zeichne die Strecke BC.
- Lege eine Parallele zur Hauptachse durch C und eine Parallel zur Nebenachse durch B. Der Schnittpunkt dieser Geraden sei E.
- Errichte eine Normale auf die Strecke BC durch E.
Der Schnittpunkt dieser Normalen mit der Haupt- und Nebenachse ergibt die Mittelpunkte der Krümmungskreise.
Einfache Überlegungen mithilfe von ähnlichen Dreiecken führen auf die Radien der Krümmungskreise in den Punkten B und C:
und
Aufgabe Arbeite die Konstruktion mithilfe der Naviagtationsleiste schrittweise ab.Man kann die Krümmungskreise aber auch mithilfe der Algebra finden.
Ein Kreis, dessen Mittelpunkt (0, yM) auf der y-Achse liegt, hat mit der Ellipse maximal vier Schnittpunkte. Für den Krümmungskreis im Nebenscheitel C müssen diese vier Schnittpunkte in C zusammenfallen.
Daraus leitet sich folgende Vorgangsweise ab:
- Schnitt von Ellipse und Kreis mit M(0, yM), der bereits durch C geht und noch zwei weitere Schnittpunkte mit der Ellipse hat.
- Die y-Werte dieser Schnittpunkte müssen gleich b sein.
- Lösen der Gleichung nach yM und Berechnung des Radius des Krümmungskreises.
Aber auch mit den Mitteln der Analysis lässt sich der Radius des Krümmungskreises berechnen.
Die Krümmung des Graphen einer Funktion f an der Stelle x0 wird berechnet mit und daraus folgend der Radius des Krümmungskreises an der Stelle x0 mit .
Auch hier erhalten wir als Krümmungsradius .
Das Vorzeichen kann so interpretiert werden, dass der Mittelpunkt des Krümmungsradius unterhalb des Graphen liegt, die Ellipse im Nebenscheitel C also negativ gekrümmt ist.