bicircular quartic 2-sheet
Diese Aktivität ist eine Seite des geogebra-books Leitlinien und Brennpunkte (September 2021)
Eine bizirkulare Quartik mit 4 verschiedenen konzyklischen Brennpunkten: durch eine geeignete Möbiustransformation erreicht man stets obige Normalform. Brennpunkte sind f : reell und oBdA f > 1, und f' = -f, f'' = 1/f, f''' = -1/f. Die konfokalen Quartiken sind symmetrisch zu den Achsen und dem Einheitskreis. Das Produkt der 3 Spiegelungen ergibt die Spiegelung am imaginären Kreis. Für jede Konstruktion wird f ausgewählt. Zu einer Quartik und dem ausgewählten Brennpunkt f gehören 3 verschiedene Leitkreise. Diese liegen in einem hyperbolischen Kreisbüschel mit f als einem Grundpunkt und einem 2.ten Grundpunkt f#. Liegt dieser 2.te Grundpunkt in einem der Symmetrie-Kreis-Schnittpunkte, so ist die Quartik eine Cassini-Quartik! Konstruktion exemplarisch: Das elliptische Kreisbüschel mit den Grundpunkten f , f'' und mit den Grundpunkten f' , f''' sind symmetrisch zum imaginären Kreis. Leitkreise bei ausgewähltem Brennpunkt f sind die Kreise des zu orthogonalen hyperbolischen Kreisbüschels. Zu einem Punkt q auf einem Leitkreis ciL sei der Berührkreis an ciL durch q und f konstruiert. Der zu diesm Berührkreis orthogonale Brennkreis aus durch f schneidet den Brennkreis durch f', f'', q in 2 Punkten der Quartik. Einer der beiden winkelhalbierenden-Kreise der Brennkreise ist doppelt-berührender Kreis der Quartik. An diesem gespigelt werden die Brennkreise sowie q und f vertauscht. Diese Eigenschaft dient auch dazu, diesen doppelt-berührenden Kreis herauszufiltern. Mit dieser Konstruktion erhält man 3 Scharen doppelt-berührender Kreise jeweils zu einer anderen Symmetrie. Es gibt jedoch noch eine 4. Schar doppelt-berührender Kreise: diese sind symmetrisch zur Hauptachse, das ist der Kreis, auf welchem die Brennpunkte liegen. Die Kreise dieser Schar können nicht mit Hilfe eines Leitkreises konstruiert werden. Eine alternative Konstruktionsvorschrift: siehe nächste Seite.