Bizirkulare Welt 1

Diese Aktivität ist eine Seite des geogebra-books Möbius-Werkzeuge circle-tools (Dezember 2018)

Bizirkulare Quartiken sind Kurven 4. Ordnung des Typs:

mit und

Zu diesen Kurven gehören viele teilweise schon aus dem Altertum bekannte spezielle Kurven: die CASSINI-Lemniskaten, die CARTESISCHEN Ovalen, die spirischen Linien des PERSEUS ...; auch die Kegelschnitte gehören dazu: unter einer Möbiustranformation, speziell unter einer Kreisspiegelung erhält man aus einem Kegelschnitt eine Kurve des obigen Typs. Den Namen "bizikular" kann man erhellen mit dem Hinweis, dass auch das Produkt zweier Kreisgleichungen eine, wenn auch zerfallende bizirkulare Quartik darstellt. Bizirkulare Quartiken erhält man als Lösungskurven spezieller elliptischer Differentialgleichungen:

Ist die absolute Invariante der Brennpunkte - das sind die Nullstellen

dieser Differentialgleichung - reell, so bilden Lösungskurven ein orthogonales Netz von konfokalen bizirkularen Quartiken. Sind die Brennpunkte verschieden, so erhält man 2-teilige Quartiken, wenn die Brennpunkte auf einem Kreis liegen, und 1-teilige, wenn sie spiegelbildlich auf 2 orthogonalen Kreisen liegen. Fallen 2 der Brennpunkte zusammen, so besteht das Netz aus dem möbiusgeometrischen Bild von konfokalen Kegelschnitten mit 2 endlichen Brennpunkten. Fallen 3 Brennpunkte in einem zusammen, so besteht das Netz aus dem Bild von konfokalen Parabeln. Der Fall: 2 doppelt-zählende bzw. ein 4-fach zählender Brennpunkt führt zu den Kreisen eines Kreisbüschels und den dazu orthogonalen Kreisen. Das Produkt zweier Kreise gehört dazu. Bizirkulare Quartiken ergeben sich auch in einem anderen Zusammenhang: die Schnitte der RIEMANNschen Zahlenkugel mit einer beliebigen 2. ten Quadrik sind, nach stereographischer Projektion, bizirkulare Quartiken; siehe dazu auch das geogebra-book Kugel-Kegel-Schnitte. Aus dieser Beschreibung erklären sich auch die mögliche Formen der Quartiken:

ein Kegel oder ein Zylinder kann die Kugel in 2 getrennt liegenden geschlossenen Kurven - sogar in 2 Kreisen
oder in einer einteiligen Kurve (wenn ein Teil des Kegels an der Kugel vorbeigeht)
oder in einem Punkt (Kegelspitze) und einer geschlossenen Kurve (Ellipse) schneiden.
Auch wie eine Hyperbel oder eine Parabel entsteht, kann man sich illustrieren.

Was will obiges Applet darstellen? Sieht man von den in 2 Kreise zerfallenden Quartiken ab, so besitzen alle genannten Quartik-Typen Eigenschaften, die sie mit den Kegelschnitten gemein haben, und die ihre "Konstruktion" erlauben. Jede bizirkulare Quartik besitzt mindestens einen Symmetriekreis. Die 2-teiligen sind symmetrisch zu 4 paarweise orthogonalen Kreisen, von denen einer imaginär ist. Auf einem der Symmetriekreisen liegen die 4 verschiedenen Brennpunkte. Die 1-teiligen besitzen 2 orthogonale Symmetriekreise, auf denen je 2 Brennpunkte spiegelbildlich liegen. Für die Kegelschnitte wird einer der Symmetriekreise zum Punktkreis, in dem mindesten 2 Brennpunkte zusammenfallen, für Parabeln fallen 3 Brennpunkte zusammen, und es bleibt nur ein Symmetriekreis. Zu jedem Symmetriekreis gehört eine Schar von die Quartik doppelt-berührenden Kreisen. welche orthogonal zum Symmetriekreis sind. Die Quartik wird von diesen Kreisen eingehüllt. Zu einem Symmetriekreis gehören 2 Brennpunktpaare. Durch fast jeden Punkt der Ebene geht je ein Brennkreis durch die zusammengehörenden Brennpunkte. Die Quartiken sind Winkelhalbierende dieser zwei Brennkreise. Für die Kegelschnitte ist der Punktkreis zugleich ein Punkt der Kurve, die Tangenten sind also möbiusgeometrisch Kreise, die die Kurve außer im Berührpunkt auch in

berühren! Wählt man einen der Brennpunkte aus, so findet man eine allen bizirkularen Quartiken gemeinsame Eigenschaft, die zur "Konstruktion" als Ortskurve verwendet werden kann:

Spiegelt man den ausgewählten Brennpunkt an den doppelt-berührenden Kreisen einer Symmetrie, so liegen die Spiegelbilder auf einem Kreis, dem zugehörigen Leitkreis.
Aus den Punkten eines Leitkreises lassen sich die zugehörigen doppelt-berührenden Kreise und die (Berühr-) Punkte der Quartik konstruieren.

Oben ist eine beweglicher Leitkreis, der zugehörige Brennpunkt F und der zugehörige Symmetriekreis beweglich vorgegeben. Je nach der Lage dieser Drei wird die zugehörige bizirkulare Quartik als Ortskurve erzeugt. Schneidet der Leitkreis den Symmetriekreis, so erhält man einteilige Quartiken. In der Grenze kann der Symmetriekreis als Punktkreis dienen, auf diesem Wege erhält man auch die möbiusgeometrischen Bilder der Kegelschnitte. Dies ist auch der Fall, wenn Leitkreis und Symmetriekreis sich berühren, dies kann man bisher nur näherungsweise erkunden. Die Fallunterscheidungen, die nötig sind, um alle Möglichkeiten zu erfassen, beruhen eigentlich auf den 3 verschiedenen Lösungsmöglichkeiten, die es für Quadratische Gleichungen gibt: 2 reelle, 1 reelle zusammenfallende oder 2 konjungiert-komplexe Lösungen! Logisch sind oben viele Alternativen zu berücksichtigen, dies kann die Ausführung verlangsamen. Wahrscheinlich sind nicht alle Fälle erfasst. Für Quartiken, welche in 2 Kreise zerfallen, betrachte man die übernächste Seite des Buches.

Bizirkulare Welt 1

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