Área de um triângulo
Introdução.
Na aula anterior, definimos a área de uma figura bidimensional como o espaço ocupado por ela em termos de uma unidade de medida ao quadrado, denotando-se por 1u. Lembre-se, também, que u é o espaço ocupado por um quadrado de lado u. Por exemplo, um quadrado que possui lado igual a 1m possui uma área de 1m.
Além disso, podemos generalizar tal ideia para qualquer quadrado. Por exemplo, um quadrado de lado igual a 2m ocupa 4m de espaço, pois cabem 4 quadrados unitários nele. Note que, aqui, u=2m, e vale que u=(2m)=4m.
Por fim, revise a generalização desse procedimento para a dedução da área de um retângulo qualquer.
Encontrando a área.
Seja A um triângulo qualquer. Podemos calcular a área de A da seguinte maneira: escolhemos um de seus lados. Com o lado fixado, analisamos a altura de A relativa ao lado determinado. Por fim, realizamos o produto da medida da base pela altura e dividimos por 2.
Definimos como altura de um triângulo WXY relativa ao lado WX como a distância determinada pelo segmento de reta YZ, onde Y é o vértice do triângulo que não está na base fixada do triângulo e Z é o ponto pertencente à reta suporte de WX que torna o segmento YZ perpendicular a WX.
Veja a seguinte imagem:
Perceba que, nesse exemplo, nossa base mede 5cm, pois é a distância determinada pelo segmento AC. Já sua altura é igual a 4cm. Logo, sua área é dada por:
A(ABC) = (5cm)(4cm) = 10cm
Será que isso funciona sempre? utilize o seguinte applet para se convencer que triângulos de mesma base e altura possuem, necessariamente, a mesma área:
Mas por que isso funciona? Veja o seguinte vídeo para aprender a dedução de todo esse mistério!
Dedução da área do triângulo.
Para finalizar, vamos testar seus novos conhecimentos. Para isso, responda as seguintes perguntas:
Existe triângulo cuja alguma de suas alturas seja externa ao seu interior? Pense e escreva sua resposta.
Qual a área de um triângulo cuja uma de suas bases vale 7cm e a altura relativa a esse lado mede 6cm?
A área de um triângulo é igual a 6. Seus lados são iguais a, respectivamente, 3,4 e 5. Calcule as alturas relativas a cada um de seus lados.
Você consegue perceber a relação entre lados e alturas de triângulos retângulos?