Μέγιστο εμβαδόν εγγεγρ/νου ορθογωνίου
- Author:
- e-arsakeio
Οδηγίες
Στη δραστηριότητα που ακολουθεί εξετάζουμε το πρόβλημα:
"Από όλα τα ορθογώνια που είναι εγγρεγραμμένα σε ορθογώνιο τρίγωνο, ποιο έχει το μέγιστο εμβαδόν".
- Στο δόμημα εμφανίζεται το ορθογώνιο τρίγωνο ΟΑΒ και ένα ορθογώνιο που είναι εγγεγραμμένο σε αυτό.
- Στο 2ο παράθυρο εμφανίζεται το σημείο Ρ που έχει συντεταγμένες (xM,E) όπου xM η τετμημένη του σημείου Μ και Ε, το εμβαδόν του ορθογωνίου.
Πειραματισμός (ΟΑΒ: ισοσκελές)
Μετακινήστε το σημείο Α ή το σημείο Β ώστε το τρίγωνο ΟΑΒ να είναι ισοσκελές.
Πειραματιστείτε για διάφορες θέσεις του σημείου Μ στην υποτείνουσα ΑΒ.
- Από τη μορφή της καμπύλης που διαγράφει το σημείο Ρ, μπορείτε να εικάσετε πότε το εμβαδόν Ε μεγιστοποιείται;
- Εξετάστε αν ισχύει η ίδια εικασία που διατυπώσατε προηγουμένως.
- Διατυπώστε μία γενικευμένη εικασία σε αυτή την περίπτωση.
- Τί μορφή καμπύλης διαγράφει το σημείο Ρ;
- Μπορείτε να αιτιολογήσετε την απάντησή σας;
- Χρησιμοποιώντας τον τύπο εύρεσης της τετμημένης της κορυφής μιας παραβολής, που είναι: , να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του ορθογωνίου OKMΛ είναι μέγιστο αν και μόνο αν ισχύει ότι: (υποθέτουμε ότι το σημείο Μ(x,y) κινείται σε τμήμα της ευθείας με εξίσωση όπως αυτό που φαίνεται στο δόμημα).
Αλγεβρική διατύπωση
Στα προηγούμενα διαπραγματευτήκαμε τη βασική ισοδυναμία:
Αν δύο μεταβλητές x και y πολλαπλασιαζόμενες με σταθερούς συντελεστές α και β έχουν σταθερό άθροισμα, το γινόμενό τους μεγιστοποιείται αν και μόνο αν οι ποσότητες αυτές γίνουν αντιστρόφως ανάλογες προς τους συντελεστές τους.