Suuntakulma ja suorien välinen kulma
- Author:
- P Porras
Tavallisessa suorakulmaisessa kolmiossa Δx ja Δy ovat kateettien pituudet. Kyseinen suhde on siis sama kuin kulman α tangentti eli
.
Joskus kulmakertoimen sijasta puhutaankin suoran suuntakulmasta. Sillä tarkoitetaan suoran ja positiivisen x-akselin väliin jäävän kulman suuruutta. Muistathan, että negatiivinen kulma on vain merkintä kuvaamaan myötäpäivään tapahtuvaa siirtymää.
Kun suoran kulmakerroin k tiedetään, on suoran suuntakulmakin tiedossa. Kahden suoran välinen kulma saadaankin ratkaistua helposti suuntakulmien avulla. Vakiothan eivät millään tavalla vaikuta suoraan jyrkkyyteen; ainoastaan sijaintiin.
Kahden suoran välinen kulma on aina pienempi kahdesta vaihtoehdosta, joten se voi olla korkeintaan 90°.
Edellisen kuvan perusteella suorien välinen kulma α saadaan suoraan kulmien avulla. Kahdelle nousevalle suoralle
,
missä β on jyrkemmän (eli yläpuolella menevän) suoran suuntakulma. Mikäli toinen suorista on nouseva ja toinen laskeva, suorien välinen kulma on suuntakulmien summa. Laskevan suoran suuntakulma merkitään matematiikassa yleensä negatiiviseksi, jolloin päädytään samaan tulokseen. Kahdelle laskevalle suoralle periaate on sama kuin nouseville suorille. Jos ei halua muistella miten päin suuntakulmat vähennetään toisistaan, niin
,
missä β ja γ ovat suorien suuntakulmat (eikä niiden järjestyksellä ole väliä).
Suorat ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan, kun kulmakertoimien tulo on -1 eli
.
Alla olevassa kuvassa suorat on etukäteen määrätty 90° kulmaan toisiaan vastaan. Etäisyydet pisteisiin A ja A' ovat yhtä suuret. Kun suorien kulmakertoimet lasketaan ja kerrotaan keskenään, niin tulokseksi saadaan -1.
Tätä tietoa hyödynnetäänkin kohtisuoruuden tarkistamisessa ja kulmakertoimien määrittämisessä esimerkiksi tangentille ja normaalille.
Esimerkki 3. Määritä pisteiden ja sekä pisteiden ja kautta kulkevat suorat sekä niiden välinen kulma.
Ratkaisu 3. Määritetään ensin pisteiden (-2, 3) ja (5, 1) kautta kulkeva suora. Suoran kulmakerroin saadaan suoraan kaavalla eli
ja suoran yhtälö on nyt
Vastaavalla tavalla voidaan määrittää jälkimmäinen suora, jonka kulmakerroin on siis
.
ja suoran yhtälö vastaavasti
Näistä kahdesta jälkimmäisen suoran kulmakerroin on suurempi, joten suorien välistä kulmaa laskettaessa jälkimmäisen suoran suuntakulmasta vähennetään edellisen suoran suuntakulma. Yksittäiset suuntakulmat ovat
ja
Tällöin suorien välinen kulma on
Edellisen kuvan perusteella suorat muodostavat kolmion yhdessä x-akselin kanssa. Tämän kolmion kaksi kulmaa saadaan suorien suuntakulmien avulla. Kolmion kolmas kulma saadaan säännöstä, jonka mukaan kolmion kulmien summa on aina 180º. Kolmion kolmannen kulman arvoksi tulee siis 180º - 51.34º - 15.95º = 112.71º. Koska suorien välinen kulma on korkeintaan 90º, on vastaukseksi annettava 180º - 112.71º = 67.29º.
Suorien välinen kulma voidaan laskea myös kaavalla
Edellisessä esimerkissä saataisiin