Kapitel
Степень
Тема «Натуральная степень» представляет собой фундаментальное понятие в математике, связанное с операцией многократного умножения числа на само себя. Если взять действительное число a (основание степени) и натуральное число n (n ∈ N, то есть n = 1, 2, 3, …), то степень a
n
определяется как произведение n множителей, каждый из которых равен a. При этом a называют основанием степени, n — показателем степени, а всё выражение a
n
— степенью. В речи запись a
2
читают как «a в квадрате» или «a во второй степени», a
3
— как «a в кубе» или «a в третьей степени», а при n > 3 говорят «a в n-й степени».
Существуют особые случаи, которые важно учитывать: любое число в первой степени равно самому себе (a
1
= a); любое ненулевое число в нулевой степени равно 1 (a
0
= 1 при a
= 0); ноль в любой натуральной степени (начиная с 1) равен нулю (0
n
= 0 при n ≥ 1); единица в любой степени остаётся единицей (1
n
= 1).
При возведении в степень важно обращать внимание на знак результата. Если основание положительное (a > 0), то и степень будет положительной при любом натуральном показателе. Если же основание отрицательное, результат зависит от чётности показателя: при чётном n степень будет положительной, а при нечётном — отрицательной.
В работе со степенями помогают их основные свойства. При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются: a
n
⋅ a
m
= a
n+m
. При делении степеней с одинаковыми основаниями (если a
= 0) показатели вычитаются:
a
m
a
n
= a
n−m
(при n ≥ m). При возведении степени в степень показатели перемножаются: (a
n
)
m
= a
n ⋅ m
. Если нужно умножить степени с одинаковыми показателями, можно перемножить основания: a
n
⋅ b
n
= (a ⋅ b)
n
. Аналогично при делении степеней с одинаковыми показателями (если b
= 0) получается степень отношения оснований:
b
n
a
n
= (
b
a
)
n
.
