TRONCO DA PIRÂMIDE

Definição:

Tronco de pirâmide é o sólido geométrico encontrado na parte inferior da pirâmide quando nela é realizada uma secção transversal, a qualquer altura. A secção transversal é um corte feito por um plano paralelo à base do sólido geométrico. Quando é feita a secção transversal, formam-se dois sólidos geométricos: um deles é uma pirâmide menor e o outro, o tronco de pirâmide. O tronco de pirâmide possui como principais elementos: A base menor, a base maior e a altura, que são úteis para o cálculo de seu volume e área total. Para realizar tais cálculos, utilizam-se fórmulas específicas.

Elementos do tronco de pirâmide

O tronco de pirâmide é o sólido geométrico obtido pela secção transversal de uma pirâmide qualquer, a qualquer altura.

Como todo sólido geométrico, o tronco de pirâmide possui elementos importantes:

altura ();
base maior ();
base menor ().

Observação:

Note que a base maior e a base menor sempre são compostas por polígonos semelhantes, podendo ser triângulos, quadrados, retângulos, pentágonos, hexágonos ou qualquer outro polígono. Além disso, as faces laterais de um tronco de pirâmide são sempre trapézios.

Área de um tronco de pirâmide

A área total do tronco de pirâmide é a soma das áreas da base com a área lateral.

→ área total do tronco de pirâmide;
→ área da base maior;
→ área da base menor;
→ área lateral, encontrada pela soma das áreas dos trapézios que compõem o sólido.

Volume do tronco de pirâmide

Para calcular o volume de um tronco de pirâmide, é comum calcular a diferença entre o volume da pirâmide maior e o volume da pirâmide menor quando realizada a secção transversal. Existe também uma fórmula específica para calcular o volume de um tronco de pirâmide:

→ volume;
→ altura do tronco;
→ área da base maior;
→ área da base menor.

Importantes relações entre seus elementos

As propriedades geométricas relacionadas às dimensões da pirâmide maior e da menor podem ser expressas em termos de proporções.

Proporção das Arestas: As arestas das bases do tronco de pirâmide são proporcionais às alturas das pirâmides correspondentes:

Essa relação indica que a razão entre as arestas das bases é a mesma que a razão entre as alturas das pirâmides. Exemplo 1: Uma pirâmide truncada tem uma base maior com aresta A=10 cm e uma base menor com aresta a=6 cm. Se a altura da pirâmide maior é

, qual é a altura

da pirâmide menor? Resolução: A relação entre as arestas e as alturas das pirâmides maior e menor é dada por:

Substituindo os valores:

Resolvendo para

Resposta: A altura da pirâmide menor é 9 cm.

Proporção das Áreas

As áreas das bases do tronco de pirâmide também seguem uma proporção com base no quadrado das alturas:

Isso reflete o fato de que as áreas das bases são proporcionais ao quadrado das alturas correspondentes. Exemplo 2:

Dado um tronco de pirâmide com área da base maior e área da base menor . Se a altura da pirâmide maior é , qual é a altura da pirâmide menor?

Resolução: A relação entre as áreas e as alturas das pirâmides maior e menor é dada por:

Substituindo os valores:

Simplificando a fração:

Extraindo a raiz quadrada dos dois lados:

Resolvendo para

Resposta: A altura da pirâmide menor é 9 cm.

Proporção dos Volumes: Os volumes das pirâmides menor e maior estão relacionados pela proporção cúbica das alturas

Essa relação mostra que o volume de uma pirâmide é proporcional ao cubo da altura. Exemplo 3: Um tronco de pirâmide tem volumes

para a pirâmide maior e

para a pirâmide menor. Se a altura da pirâmide maior é

, qual é a altura

da pirâmide menor? A relação entre os volumes e as alturas das pirâmides maior e menor é dada por:

Substituindo os valores:

Simplificando a fração:

, manipulando essa equação para raiz cúbica, temos:

Calculando a raiz cúbica:

Resposta: A altura da pirâmide menor é aproximadamente 6.30 cm.

Veja mais essa explicação do professor Paulo, do canal Equaciona.

Exercícios sobre tronco de pirâmide

1-(Enem 2020) Uma das Sete Maravilhas do Mundo Moderno é o Templo de Kukulkán, localizado na cidade de Chichén Itzá, no México. Geometricamente, esse templo pode ser representado por um tronco reto de pirâmide de base quadrada. As quantidades de cada tipo de figura plana que formam esse tronco de pirâmide são

Marca todas las que correspondan

A
A) 2 quadrados e 4 retângulos.
B
B) 1 retângulo e 4 triângulos isósceles.
C
C) 2 quadrados e 4 trapézios isósceles.
D
D) 1 quadrado, 3 retângulos e 2 trapézios retângulos.
E
E) 2 retângulos, 2 quadrados e 2 trapézios retângulos.

Revisa tu respuesta (3)

2-(Enem 2009) Uma fábrica produz velas de parafina em forma de pirâmide quadrangular regular com 19 cm de altura e 6 cm de aresta da base. Essas velas são formadas por 4 blocos de mesma altura — 3 troncos de pirâmide de bases paralelas e 1 pirâmide na parte superior —, espaçados de 1 cm entre eles, sendo que a base superior de cada bloco é igual à base inferior do bloco sobreposto, com uma haste de ferro passando pelo centro de cada bloco, unindo-os, conforme a figura.

Se o dono da fábrica resolver diversificar o modelo, retirando a pirâmide da parte superior, que tem 1,5 cm de aresta na base, mas mantendo o mesmo molde, quanto ele passará a gastar com parafina para fabricar uma vela?

3-Um reservatório possui o formato de tronco de pirâmide, com 10 metros de altura e 2 bases quadradas com 6 metros e 4 metros. O volume desse reservatório é aproximadamente igual a:

4-Na busca por um vaso para colocar uma muda de jabuticaba, Poliana encontrou vários formatos diferentes de sólidos geométricos, entre eles, os que estão na imagem a seguir.