Sección 1.7 - Triángulo medial y la línea de Euler (Ejercicios)
Ejercicio 1
Dibujando una nueva versión de la figura 1.7A, basada en la figura 1.1B en vez de la 1.1A, verifique que la prueba del Teorema 1.71 sigue siendo válida cuando tiene un ángulo obtuso.
Respuesta:
La altura BH biseca externamente a . Además, es perpendicular a . biseca
Por lo tanto, es bisectriz externa de en . Esto nos deja saber que H es el excentro.
Similarmente con y
Ejercicio 2
Respuesta:
Aplicando el Teorema de Stewart en con la ceviana tenemos:
(i)
Como A' sería el punto medio en BC, por lo que en (i) obtenemos:
Aplicando el Teorema de Stewart, esta vez en con ceviana tenemos:
(ii)
Como G triseca , y si entonces y . Además y en vemos que , y por pitágoras, o por lo que en (ii) obtenemos:
También notemos que por el Teorema 1.71. Por lo tanto:
Note que
Entonces
Ejercicio 3
Demuestre que
Respuesta:
Supongamos que
Entonces, mirando los triángulos y y aplicando pitágoras, obtenemos:
y
Adicionalmente,
Sustituyendo, obtenemos:
Ejercicio 4
Si tiene la propiedad especial de que su Linea de Euler es paralela a su lado BC, entonces .
Respuesta:
Notemos que . Vemos que y porque es paralelo a y . Entonces:
(i)
También es isósceles porque y es el punto medio de , Entonces biseca . Por tanto, .
es rectángulo así que o
es rectángulo por lo que .
Por ley de senos extendida,
. Entonces . Al sustituir esto en (i) obtenemos: