Conceptos básicos de la geometría euclideana
Términos básicos
En esta sección nos enfocaremos en ver conceptos que son fundamentales para la Geometría.
Punto
El punto es el concepto más básico de la geometría, y el más importante. Gráficamente, es un círculo pequeño. A los puntos se les identifica con letras mayúsculas.
A continuación veremos los puntos A, B, C, y D.
Recta
Podemos definir la recta como una serie infinita de puntos que se extienden en ambas direcciones. Hay dos maneras de identificar una recta:
- Escoger dos puntos en la recta, por ejemplo A y B, y referirse a esta como la recta AB.
- Asignarle una letra minúscula arbitraria.
Teorema (distancia de un punto a una recta)
Sea una recta y un punto fuera de . Sea A en tal que AP es perpendicular a . La distancia más corta desde P hasta está dada por la longitud del segmento AP.
Demostración: Consideremos la recta y P un punto fuera de la recta.
Sea A en tal que AP es perpendicular (forma un ángulo de 90 grados) a . Por Pitágoras (teorema que veremos más adelante, puede brincar sección si desea entender la lógica utilizada), cualquier otro punto en B en la recta cumple que
. Por lo tanto PB>PA
Plano y Espacio
El plano es una superficie plana la cual se extiende de manera infinita. En GeoGebra, el plano es en donde se trabaja y se ilustran las imágenes.
El espacio es un conjunto de todos los planos. Es infinito
Puntos colineales
A dos puntos A y B se les denota colineares si están sobre la misma recta. Los puntos A y B en la figura utilizada de ejemplo en la definición de recta son colineales.
Puntos Coplanares
Los puntos coplanares son aquellos que compartan un plano. En la figura utilizada como ejemplo en la definición de punto podemos notar que los puntos A, B, C, y D son coplanares.
Segmento
Sean A y B puntos en una recta, su segmento es denotado por todos los puntos entre A y B, incluyéndolos. Su longitud es determinada por la distancia entre A y B.
En la siguiente figura, veremos un segmento.
Rayo
A diferencia de la recta, un rayo se extiende de manera infinita pero solo por una dirección. Al punto de inicio se le conoce como el punto de origen.
Veamos el siguiente rayo AB.
Punto medio
Sea AB un segmento, entonces el punto C que divide a AB en dos segmentos con longitudes iguales (AC=CB) se le conoce como el punto medio.
La siguiente figura muestra el punto medio.
Angulo
Un ángulo se forma en la sección entre dos rayos que comparten el mismo punto de origen. Al punto de origen se le llamará vértice y los rayos serán los lados del ángulo.
La medida de los ángulos se da en grados.
Bisectriz
La bisectriz es un rayo a partir del vértice que divide el ángulo en dos ángulos iguales.
En la siguiente figura, veremos que el rayo AD es el bisector del ángulo CAB.
Teorema de la bisectriz
Todos los puntos que están en la bisectriz de un ángulo equidistan a cada lado del ángulo.
Demostración: Consideremos el y P un punto en su bisectriz. Sean Q el pie de la perpendicular que va desde P a AB y R el pie de la perpendicular de P a AC.
Mediatriz
La mediatriz de un segmento AB es la recta que es perpendicular a AB y pasa por el punto medio de AB.
Teorema de la mediatriz
Cualquier punto sobre la mediatriz del segmento AB equidista de A y de B.
Demostración: Consideremos un segmento AB y un punto P cualquiera sobre su mediatriz. Sea M el punto medio de AB.
Note que los triángulos rectángulos (para ver la definición de triángulo rectángulo, visite la sección Triángulos I) QPA y RPA son congruentes ya que tienen sus tres ángulos congruentes; el por definición de bisectriz, y el tercer ángulo en los triángulos es igual pues la suma de los ángulos internos de un triángulo es siempre igual a 180 grados y comparten el lado AP. Por lo tanto QP=PR
Del teorema de Pitágoras y sabiendo que AM = BM se deduce que . Por lo tanto,
Luego PA=PB