Mit Vollgas in die Differentialrechnung

Kurzinformation

Thema: Einführung in die Differentialrechnung
Schulstufe: 10. Schulstufe
Dauer: 3-4 Einheiten
Material
Spezielle Materialien: Handy, Phyphox, evtl. Brett oder Karton

Ziel dieser Unterrichtseinheiten ist es, den Ableitungsbegriff durch die Grundvorstellungen der Ableitung als Grenzwert des Differenzenquotienten und der Tangentensteigung zu erarbeiten.

Vorwissen und Voraussetzungen

Die SchülerInnen wissen...

... wie man die Steigung einer linearen Funktion berechnet.
... wie Geschwindigkeiten berechnet werden.
... was der Differenzenquotient ist und wie man diesen berechnet.
... was unter dem Begriff Grenzwert verstanden wird.

Lernergebnisse und Kompetenzen

Die SchülerInnen können...

... die Momentangeschwindigkeit von der Durchschnittsgeschwindigkeit unterscheiden.
... den Ableitungsbegriff anhand verschiedener Grundvorstellungen beschreiben (Ableitung als Tangentensteigung, Grenzwert des Differenzenquotienten)
... Ableitungen von Potenzfunktionen berechnen.
... Ableitungen von einfachen Funktionen über die Grenzwert-Definition berechnen.

Unterrichtsablauf

Die Unterrichtseinheit dient dazu, die Differentialrechnung einzuführen. Der Zugang erfolgt über ein Beispiel zur Momentangeschwindigkeit/Durchschnittsgeschwindigkeit. Um das Verständnis zur Ableitung als Grenzwert des Differenzenquotienten zu vertiefen, wird ein Experiment durchgeführt. Daraus soll die Grenzwert-Definition der Ableitung erarbeitet werden. Mit dieser Definition wird schließlich die Ableitung der Funktion berechnet und mit den ermittelten Werten des Experiments verglichen. Mithilfe eines Geogebra-Applets werden die Ableitungsregeln erarbeitet. Der Lernerfolg wird schließlich noch spielerisch überprüft.

Aktivität 1 (50 min)

Der Einstieg in das Thema erfolgt mit der Frage, ob ein Auto zu einem bestimmten Zeitpunkt eine Geschwindigkeit haben kann. Zu dieser Frage soll zunächst alleine ein Lösungsansatz überlegt werden, welcher ins erste Arbeitsblatt eingetragen werden soll. Danach finden sich die SchülerInnen selbstständig in Paare oder Kleingruppen zusammen. Sie tauschen untereinander ihre Überlegungen von der Einzelarbeit aus. Es folgt ein Beispiel, indem die Geschwindigkeit auf einer bestimmten Strecke untersucht werden soll. Dazu bekommen die SchülerInnen eine Tabelle mit verschiedenen Zeitpunkten und der zurückgelegten Strecke zu jedem Zeitpunkt. Die SchülerInnen werden zunächst die mittlere Änderungsrate der 5-Sekundenintervalle berechnen. In manchen der Intervalle wird die Geschwindigkeitsbegrenzung überschritten. Nun stellt sich die Frage, was nun die Höchstgeschwindigkeit auf dieser Strecke war. Den SchülerInnen soll beim Auftreten dieser Frage eine genauere Tabelle (1-Sekundenintervalle) auf Geogebra angeboten werden. Die SchülerInnen sollen zu dem Schluss kommen, dass die Momentangeschwindigkeit durch immer kleinere Intervalle immer genauer bestimmt werden kann (=Ableitung als lokale Änderungsrate) Durch die Lehrperson erfolgt eine Zusammenfassung der Ergebnisse der SchülerInnen. Damit wird der Ableitungsbegriff eingeführt. Didaktischer Kommentar: Der Inhalt dieser Aktivität soll mithilfe der Ich-Du-Wir-Methode erarbeitet werden. Die SchülerInnen sollen sich zunächst einige Minuten alleine Lösungsansätze zur Fragestellung überlegen, die ins Geogebra-Buch eingetragen werden sollen. Danach finden sich die SchülerInnen selbstständig mit einem Partner oder in Kleingruppen zusammen. Falls die Einheit online stattfindet, werden sie zufällig Break-Out-Sessions mit 2-3 Personen zugeteilt. Abschließend werden die Lösungen der einzelnen Gruppen präsentiert und besprochen. Mit der Lehrperson sollen die Ergebnisse gesammelt und zusammengefasst werden.

Aktivität 2 (50 min)

Folgendes Experiment dient dazu, die Ableitung als Grenzwert des Differenzenquotienten einzuführen. Außerdem wird die Grundvorstellung, dass die Ableitung die Tangentensteigung angibt, unterstützt. Über die App Phyphox können mit dem Smartphone Winkel gemessen werden. (Alternativ dazu, können natürlich auch andere Apps/Gadgets verwendet werden) Die Lehrkraft klebt den ausgedruckten Graphen einer Funktion, zum Beispiel

, an ein Holzbrett oder ein Stück Karton und sägt bzw. schneidet entlang des Graphen das Brett in zwei Teile, sodass ein konkaver und ein konvexer Teil entsteht. Die Versuchsbeschreibung, die Bauanleitung, die Druckvorlage und die Aufgaben für die Schülerinnen und Schüler befindet sich hier. Das Experiment wird in Gruppen (ca. 4 SuS pro Gruppe) durchgeführt. Dabei bekommt jede Gruppe den konkaven und konvexen Teil des Graphen zur Verfügung gestellt. Das Arbeitsblatt zum Versuch wird in der Gruppe gemeinsam bearbeitet.

Folgendes sollte durch das Experiment beobachtet werden: Durch das punktuelle Anlegen am konvexen Teil wird die Steigung in einem Punkt gemessen (Tangentensteigung). Am konkaven Teil kann das Smartphone unterschiedlich angelegt werden: Mit der langen oder kurzen Seite. In beiden Fällen ergibt sich eine mittlere Steigung (Sekantensteigung). Auf Basis dieser Erkenntnisse ist es einleuchtend, dass zu einer genauen punktuellen Steigungsbestimmung der Abstand der beiden Auflagepunkte so klein wie möglich gemacht werden sollte. Die Limes-Defintion sollte den Schülerinnen und Schüler so klar gemacht werden. Mit der Definition soll die Steigung der Funktion an besagtem Punkt rechnerisch ermittelt werden. Auch dieses Beispiel kann in der Gruppe gemeinsam gelöst werden. Dieser Wert wird mit den experimentell bestimmten Werten verglichen. Mithilfe dieses Experiments soll weiters die Ableitung als Steigung der Tangente erklärt werden. Dies lässt sich gut mit dem Anlegen des Smartphones an einen Punkt der Funktion darstellen. Wenn man dies an "jedem Punkt" der Funktion macht, entsteht eine weitere Funktion aus den Werten der Tangentensteigung. Dies kann durch das Grafische Ableiten veranschaulicht werden. Didaktischer Kommentar: Die App zum Messen des Winkels soll bereits vor der Unterrichtseinheit heruntergeladen werden. Außerdem wäre es sinnvoll, wenn sich die SchülerInnen schon vorweg mit der App vertraut machen. Dies könnte im Zuge einer Hausübung erfolgen. Wenn das Experiment in Präsenz stattfindet, wird die Funktion von der Lehrperson vorbereitet. Bei der Durchführung des Experiments im E-Learning werden den SchülerInnen die Druckvorlage und Bauanleitung der Funktion über Geogebra zur Verfügung gestellt. Damit können sie dann selbstständig in Break-Out-Sessions die Tangentensteigung erforschen.

Aktivität 3 (50 Minuten)

In dieser Unterrichtseinheit werden die Konstanten- und Summenregel anhand der davor erlernten Limes-Definition wie im Schulbuch eingeführt. Anhand eines Applets kann die Summenregel veranschaulicht werden. Anschließend sollen die SchülerInnen die Ableitungsregel für Potenzfunktionen anhand des Applets selbst erarbeiten. Dazu schließen sie sich mit einem Klassenkollegen/einer Klassenkollegin zusammen. Eine Funktion

ist gegeben. Die Variablen n und a sollen verändert und die daraus entstehende Funktion und ihre Ableitung notiert werden. Wenn die SchülerInnen genug Funktionen und Ableitungen aufgeschrieben haben, sollen sie versuchen, eine Regel für die Ableitung zu generieren. Die Berechnung der Ableitung über die Grenzwert-Definition sollte anschließend von der Lehrperson noch einmal geklärt werden. Didaktischer Kommentar: Die SchülerInnen sollen dafür einen Laptop oder ein Tablet mit in den Unterricht bringen (Handy ist ungeeignet). Zumindest soll ein Gerät pro Paar vorhanden sein. Falls die SchülerInnen keine ähnlichen Geräte besitzen, wird die Aktivität im Computerraum durchgeführt.

Sicherung (30 min)

Mithilfe von LearningApps und anderen Spielen sollen die erarbeiteten Ableitungsregeln vertieft werden. Die Spiele sind im Kapitel "Sicherung" im GeoGebra-Buch zu finden. Für den Präsenzunterricht kann den SchülerInnen zusätzlich ein Domino bzw. auch das Memory in Form eines normalen Kartenspiels zum Üben zur Verfügung gestellt werden. Didaktischer Kommentar: Die Onlinespiele sind bis auf das Wettrennen für das alleinige spielen ausgelegt. Beim Domino bzw. Memory in Kartenformat kann den SchülerInnen allerdings die Wahl überlassen werden, ob sie lieber allein, zu zweit oder in einer Kleingruppe spielen möchten.

Links zu Materialien und Quellen

SchülerInnenmaterial: GeoGebra-Buch Phyphox Quellen:

Bauer, C. Retteratz, K. Weber, E. (2016). Mit Vollgas in die Differenzialrechnung. In mathematik lehren. Bestand und Änderung. 199. 25 - 28
Leuders, T. Herold, R. (2008). Fit in Funktionen. In Praxis der Mathematik in der Schule. Produktive Übungsspiele - gespielt, gelernt, gewonnen. 22. 18 - 22.
Oldenburg, R. (2018). Experimente zu den Grundvorstellungen der Ableitung. In Der Mathematikunterricht. Experimente im Mathematikunterricht. 64(1). 35 - 42
Schacht, F. (2015). Ableitung besser verstehen mit digitalen Werkzeugen. In Praxis der Mathematik. Der analytische Blick - Approximieren. 62(57). 31 - 36.