Infektionen | Exp. Wachstum | Didaktische Hinweise
Kurzinformationen
- Link zum Material für die Lernenden: https://www.geogebra.org/m/gqdyrs8n
- Am Beispiel der Ausbreitung einer Infektionskrankheit werden grundlegende Aktivitäten zur Beschäftigung mit exponentiellem Wachstum unter Nutzung digitaler Mathematikwerkzeuge angeboten.
- Einführungsphase, Qualifikationsphase; Funktionen und Analysis
Leitgedanke zur Aktivität
Motiviert durch die Berichterstattung sowie des öffentlichen und politischen Diskurses zur COVID19-Pandemie erfuhr das Thema "exponentielles Wachstum" eine breite öffentliche Aufmerksamkeit. In dieser Aktivität wird vor diesem Hintergrund der Kontext "Infektionskrankheiten" aufgreifen um typische Fragestellungen zu exponentiellen Prozessen und Exponentialfunktionen unter Verwendung digitaler Werkzeuge zu beantworten. Es besteht dabei die optionale Möglichkeit das ganze auch explizit im Kontext COVID19 zu verorten (siehe "Didaktische Hinweise")
Vorwissen und Voraussetzungen
Die Lernenden können ...
- exponentielle Wachstumsprozesse erkennen und mathematisch beschreiben
- Exponentialfunktionen zu einem gegebenen Kontext aufstellen
Beiträge zum Kompetenzerwerb
Die Lernenden ...
- verwenden Exponentialfunktionen zur Beschreibung des Wachstums von Neuinfektionen im Kontext der Ausbreitung einer Infektionskrankheit
- interpretieren Parameter von Exponentialfunktionen im Kontext
- verwenden digitale Werkzeuge zum Lösen von Exponentialgleichungen, zielgerichteten Variieren der Parameter von Funktionen, Darstellen von Funktionen grafisch und als Wertetabelle (mit geeigneter Achsenskalierung)
Didaktische Hinweise
- Die gesamte Aktivität ist vor dem Hintergrund der COVID19-Pandemie entwickelt worden, dieser Kontext wird im Material aber nicht explizit erwähnt. Es ist aber ohne weiteres möglich, diesen Kontext im Unterricht explizit zu adressieren. Dazu kann zum Einstieg die folgende Aktivität genutzt werden, die nicht Teil des oben verlinkten Materialpakets ist: https://www.geogebra.org/m/fyqeencz. Zentales Element dieser optionalen Aktivität ist ein Video von einer Pressekonferenz, in dem die damalige Bundeskanzlerin Dr. Angela Merkel eine Prognose für den Wachstum der täglichen Neuinfektionen mit dem Corona-Virus im Herbst 2020 vorrechnet. Im Arbeitsauftrag stellen die Lernenden heraus, warum es sich bei dem Modell um exponentielles Wachstum handelt
- Aus inhaltlicher Sicht bietet es sich an, die Aktivität vor der Einführung des Logarithmus einzusetzen, da so die Nutzung des MMS-Funktionalitäten zur Bearbeitung der Aktivitäten zwingend erforderlich ist. An verschiedenen Stellen bietet es sich darüber hinaus an, die Nutzung des MMS explizit zu reflektieren. Diese werden entweder in den Arbeitsaufträgen direkt angesprochen oder in der folgenden Vorstellung der Aktivitäten auf der Metaebene erwähnt.
Schieberegler
Vorstellung der einzelnen Aktivitäten
- Daten zur Ausbreitung einer Infektion Im ersten Teil der Aktivität arbeiten die Lernenden Daten zu (wöchentlichen) Neuinfektionen einer Erkrankung. Die Daten stammen aus realen Daten der COVID19-Neuinfektionen im Herbst 2020. Dazu übertragen Sie die vorgegebenen Datenpunkte in ein Koordinatensystem und modellieren das wöchentliche Wachstum der Neuinfektionen durch eine Exponentialfunktion. Auf dieser Grundlage wird eine Prognose für den Silvester-Tag abgegeben und dieses Ergebnis (und damit die gewählte Modellierung) wiederum vor dem Hintergrund der realen Anzahl der Neuinfektionen diskutiert.
- Hinweise zu Antworten der Lernenden:
- Es bietet sich an, die Daten über die Tabelle einzufügen.
Für das Verhältnis der Achsenskalierung bietet sich 1:500 an.
- Zum finden der Funktion, kann der durchschnittliche Wachstumsfaktor (ca. 1.41) bestimmt werden. Alternativ bietet sich eine graphische Annäherung durch eine Exponentialfunktion mithilfe von Schiebereglern an. Die leicht unterschiedlichen Ergebnisse der Lernenden können einen wertvollen Diskussionsanlass im Unterricht bieten.
- Entspricht der 3.9. x =0, dann entspricht der 31.12. x=17. Auch hier hängen die Lösungen wieder von der speziellen Modellierung ab.
- Die realen Neuinfektionen am 31.12.2020 stammen aus dem offizielle Dokument des RKIs, das weiter unten angehängt ist. Die Modellannahme für exponentielles Wachstum ist, dass jede infizierte Person (im Schnitt) die selbe Anzahl an Neuinfektionen verursacht. Diese Annahme ist in der Praxis z.B. Beispiel durch die Weihnachts"pause" sowie die Tatsache, das auf Basis der kommunizierten Modelle verschiedene Schutzmaßnahmen implementiert worden sind nicht gegeben. Außerdem kann es Meldeverzüge durch die Weihnachtspause geben.
- Ggf. kann im Unterricht noch diskutiert werden, dass der in in der ersten Aktivität bestimmte Wachstumsfaktor von "Merkels Modell" zwar größer ist, als der hier genutzte Wachstumsfaktor, sich aber auf eine andere Vergleichseinheit (Monat statt Woche) bezieht.
- Es bietet sich an, die Daten über die Tabelle einzufügen.
- Typische Fragestellungen zu exponentiellen Prozessen
In dieser Aktivität sollen, am Beispiel der vorher entwickelten Exponentialfunktion, Fragestellungen bearbeitet werden zu deren exakter Beantwortung es eigentlich des Logarithmus' bedarf, eine Antwort aber auch unter Verwendung des MMS möglich ist.
Hinweise zu Antworten der Lernenden:
- Die Lösungen hängen im Detail wieder von der genauen Funktion ab, mit der die Lernenden arbeiten. Die unterschiedlichen Lösungen können ggf. auch im Vergleich zu den unterschiedlichen Parametern der Exponentialfunktion diskutiert werden.
- Lösung mit Wertetabelle
Also zwischen 16. und 17. Woche. Das Ergebnis kann durch eine Verfeinerung der Wertetabelle weiter präzisiert werden, es muss allerdings diskutiert werden, ob diese Art der Genauigkeit (also Komma-Stellen als einzelne Wochentage) durch die gewählte Methodik gerechtfertigt ist.
- Graphische Lösung
(Schnittpunkt mit der Gerade y = 200000)
- Algebraische Lösung mit CAS (Löse) bzw. numerisch (NLöse).
Hier ggf: Screenshot später nochmal aufgreifen, wenn klar ist, was "ln()" sein soll.
- Ermittlung der Verdopplungszeit
Je nach Modellierung kann es sein, das die Verdopplungszeit nicht genau zu den realen Daten passt. Diese kann an dieser Stelle zum Diskussionsanlass genommen werden.
- Rikas Gedanke: Wenn man den Startwert a für festes b verschiebt, dann liegt die Spur des Schnittpunkts mit der Gerade y = 2a (also dem doppelten Startwert) auf einer vertikalen Gerade. Der Verdoppelungszeitpunkt (x-Wert der Geradenpunkte) ist also immer der selbe.
Methodische Hinweise
Idealerweise wechseln sich GeoGebra-Aktivitäten und Unterricht ohne das Werkzeug GeoGebra ab. Die ganze Aktivität ist nicht als reiner Selbstlernpfad angelegt. Um die GeoGebra-Aktivitäten im Klassen-Setting einzusetzen, bietet es sich an, sie als GeoGebra-Classroom-Aktivität (https://www.geogebra.org/m/vexj65n9) zu realisieren.
Anhang: Reale Daten zu den Neuinfektionen am 31.12.2020 (Quelle: RKI)
Credits
Die Aktivität beruht auf einer Unterrichtsidee von Jan Helbig (Pelizaeus-Gymnasium Paderborn) dem ich an dieser Stelle einen herzlichen Dank aussprechen möchte.