Toro y circunferencias de Villarceau
- Autor:
- GIE MAMI UPM
- Tema:
- Círculo
El toro es la superficie de revolución que se consigue haciendo girar una circunferencia de radio alrededor de un eje ubicado a una distancia del centro de la circunferencia. Por su construcción, el toro tiene secciones circulares obvias: todos sus cortes con planos perpendiculares a o con planos que contienen a , son circunferencias.
El toro tiene además secciones circulares no triviales, que fueron descubiertas por Yvon Villarceau en 1848 [1]. Se obtienen cortando el toro con planos que son tangentes al toro en dos puntos. Si llamamos al plano perpendicular al eje por el centro de la circunferencia que hemos usado para definir el toro y a la intersección de con , cualquier plano que pase por y forme con un ángulo tal que
es tangente al toro en dos puntos simétricos respecto a y lo corta en dos circunferencias, que a su vez se cortan entre sí en los puntos de tangencia. Hay por lo tanto una familia de planos con esta propiedad, y todos ellos se obtienen a partir de uno cualquiera dado, aplicando rotaciones alrededor de .
El toro también puede construirse haciendo girar alrededor de una cualquiera de sus circunferencias de Villarceau. María García-Monera y Juan Monterde [2] aprovecharon esta circunstancia para proponer una realización material del toro ensamblando plantillas de un material flexible, construidas a partir de las circunferencias de Villarceau. Se puede acceder a imágenes de esta construcción y a información adicional sobre las circunferencias de Villarceau a través de un bonito artículo publicado en 2011 por Marta Macho [3].
[1] Y.\ Villarceau (1848). Th\'eor\`eme sur le tore, Nouvelles annales de mathématiques, 1re série, 7, 345--347 .
[2] M. García Monera y J. Monterde (2011). Building a Torus with Villarceau Sections, Journal for Geometry and Graphics, volume 15, number 1, 93-99.
[3] M. Macho (2011). El toro visto por Villarceau, \ZTFNews.org, disponible en
https://ztfnews.wordpress.com/2011/11/26/el-toro-visto-por-villarceau/