4. Incentro
Vamos encontrar a maior circunferência inscrita no triângulo.
G1
1. Desenha um triângulo.
2. Desenha a circunferência maior possível que caiba no triângulo.
3. Mostra que todas as bissetrizes dos ângulos do triangulo intersectam-se num só ponto.
Dica: Começa por considerar duas bissectrizes. O que podes concluir da distância do ponto de interseção a cada um dos lados? Faz o mesmo para os outros pares de bissectrizes
G2
1. Desenha uma circunferência.
2. Desenha um triângulo que circunscreve a circunferência. Arrasta os pontos desenhando um retângulo, obtusângulo e acutângulo. Quantos triângulos podes construir? Todos os triângulos têm uma circunferência inscrita? Porquê?
3. Quantos lados toca a circunferência de raio máximo? Porquê?
4. Mostra que todas as bissetrizes dos ângulos do triangulo intersectam um ponto.
Dica: Mostra que todos os triângulos têm uma circunferência inscrita, e que existe uma de raio máximo. Quantos lados toca essa circunferência? Relaciona o centro com as bissectrizes.
G1: Existe um ponto que é a interseção de duas bissectrizes a A e B, a distância desse ponto aos lados do angulo são iguais. d(P,AC)=d(P,AB) e d(P,BC) = d(P,AB) então temos de d(P,AC)=d(P,BC), logo P pertence à bissetriz do angulo C também.
G2: Todo o triângulo é convexo, logo admite circunferências inscritas. Entre todas as circunferências inscritas, existe uma de raio máximo, pois o conjunto dos centros admissíveis é fechado e limitado. Essa circunferência toca os três lados, caso contrário poderíamos aumentar o raio deslocando o centro, e já não seria a máxima. O centro é assim equidistante dos três lados, logo pertence às três bissectrizes internas, que portanto concorrem num único ponto.