Verschieben und Strecken entlang der Achsen
Wozu?
Manchmal ist eine scheinbar komplizierte Funktionsgleichung einfach nur eine verschobene oder gestreckte aber ganz einfache Funktion. Wenn man das erkennen kann, dann erleichtert das das Lösen vieler Aufgaben.
Wenn bei einer Funktionsgleichung die Einheit der Zahlen auf der Ordinate oder der Abszisse geändert werden soll, von Kelvin auf Grad Celsius oder von Meter auf Zentimeter, dann lässt sich das einfach mit den unten stehenden Rezepten bewerkstelligen.
Nicht zuletzt ist das Kennen der untenstehenden Rezepte eine unschätzbare Hilfe dabei, zu erkennen, welche Wirkung Parameter in sogenannten Funktionsscharen haben.
Rezepte für das Verschieben
Rezept 1:
Verschieben einer Funktion um a Einheiten entlang der y-Achse:
- Schreibe einfach ein "" hinter die Funktionsgleichung von . Dann entsteht die Funktionsgleichung
- Beispiel: soll um 5 Einheiten nach oben geschoben werden:
- Ersetze jedes in der Funktionsgleichung von durch ein . Dann entsteht die Funktionsgleichung . Man beachte hier das Minuszeichen. Wenn in Richtung verschoben werden soll, dann muss das x durch ein ersetzt werden.
- Beispiel: soll um 6 Einheiten nach rechts verschoben werden: Natürlich kann man hier g(x) durch das Ausmultiplizieren der Klammern noch stark vereinfachen. Versuchen Sie es selbst.
Rezepte für das Strecken entlang der Achsen
Strecken entlang einer Achse kann man sich so vorstellen. Stellen Sie sich vor, das Koordinatenkreuz ist aus Gummi und lässt sich in alle Richtungen auseinanderziehen. Beim Strecken entlang der y-Achse wir die y-Achse festgehalten und links und rechts davon wird das Koordinatensystem auseinander gezogen. Genauso bei der x-Achse, hier wird nur die x-Achse festgehalten.
Rezept 3:
Strecken einer Funktion entlang der y-Achse um das c-fache:
- Setze die Funktionsgleichung von in eine Klammer und multipliziere diese Klammer mit der Zahl . Dann wird aus der Funktionsgleichung die Gleichung .
- Beispiel: soll um das 7-fache entlang der y-Achse gestreckt werden:
- Ersetzte jedes in der Gleichung von durch ein . Dann wird aus der Funktionsgleichung f(x) die Gleichung .
- Beispiel: soll um das 8-fache entlang der x-Achse gestreckt werden:
Probieren Sie es aus
In der folgenden Animation ist die Funktion abgebildet.
Probieren Sie die oben stehenden Rezepte aus:
- Wenn Sie f(x)+5 in die Eingabezeile eingeben, dann "rutscht" der Graf um 5 Einheiten nach oben
- Wenn Sie f(x-3) in die Eingabezeile eingeben, dann "rutscht" der Graf um 3 Einheiten nach rechts
- Wenn Sie 2 * f(x) in die Eingabezeile eingeben, dann wird der Graf um das 2-fache entlang der Ordniate gestreckt
- Wenn Sie f(x/4) in die Eingabezeile eingeben, dann wird der Graf um das 4-fache entlang der Abszisse gestreckt
Experimentierplatz
- Probieren Sie, was passiert, wenn man eine Funktion mit einem negativen Faktor streckt
- Probieren Sie aus, was passiert, wenn der Streckungsfaktor kleiner als 1 ist
- Verschieben Sie die Funktion auch in die negative Richtungen der Achsen
- Probieren Sie dies auch mit anderen Funktionen aus
Wie sieht der Funktionsgraph der folgenden Funktion aus?
Noch mehr Experimente
Wie lautet die Gleichung zum roten Funktionsgrafen?
Für Neugierige: Warum muss man bei einer Veränderung bezüglich der Abszisse immer "das Gegenteil" eingeben?
Warum sind die Rezepte für die -Achse (die Ordinate) anders, als die für die -Achse (die Abszisse)?
Eine Funktionsgleichung ist immer eine Anleitung dazu, einen Funktionsgrafen zu zeichnen. Wenn ein Punkt auf dem Funktionsgrafen von f(x) liegt, dann gilt: . Nehmen wir einen beliebigen Punkt , der auf dem Funktionsgrafen der Funktion liegt. Für die Koordinaten von diesem Punkt muss dann die Gleichung erfüllt sein, sonst liegt der Punkt nicht auf dem Funktionsgrafen von f(x).
Verschieben von Funktionsgrafen
Nun möchten wir eine Funktion erstellen, deren Funktionsgraf genau so aussieht, wie , die aber um 5 Einheiten entlang der Ordinate nach oben verschoben ist. Das können wir erreichen, indem wir statt schreiben: . Lösen wir diese Gleichung nach auf, dann entsteht eine neue Funktionsgleichung: . Wir können auchschreiben .
Ein Zahlenbeispiel:
. Dann liegt der Punkt auf dem Funktionsgraphen, denn es gilt . Wir suchen eine Funktion , die genau so aussieht, wie , nur um Einheiten entlang der Ordinate verschoben. Aus dem Punkt soll also der Punkt werden. Rezept: Ersetze in der Gleichung das durch ein :
. Aufgelöst nach ergibt das
Das heißt, um den Grafen in -Richtung um Einheiten zu verschieben, müssen wir in der Gleichung das durch ein ersetzen. Insofern ist das Rezept genau das Gleiche, wie beim Verschieben auf der -Achse. Denn um einen Funktionsgrafen entlang der x-Achse um zu verschieben müssen wir auch jedes (!) durch ein ersetzen.
Strecken von Funktionsgrafen
Hier ist die Argumentation ähnlich wie oben. Gesucht ist eine Funktion, deren Funktionsgraf genau so aussieht, wie der von , nur entlang der -Achse um das -fache gestreckt.
Also sollen für jedes die Funktionswerte dreimal größer sein, als die von .
Wenn man statt die Gleichung aufschreibt, dann ist es im Grunde die gleiche Funktionsgleichung, nur dass nun jedes mal so groß sein muss, wie bei . Wenn wir diese Funktion wieder nach y auflösen, erhalten wir Die Funktion sieht also genau so aus, wie , nur das jeder Funktionswert verdreifacht wurde.
Das Rezept ist also das gleiche, wie bei der Streckung entlang der Abszisse: Wenn eine Funktion um den Faktor entlang der Ordinate gestreckt werden soll, dann ersetze das , also das durch ein . Genauso haben wir die Regel beim Strecken entlang der -Achse: Wenn ein Funktionsgraf entlang der Abszisse um den Faktor gestreckt werden soll, dann ersetze jedes (!) durch ein \left(\frac xb\right).