Tronco de Cone

Definição

Assim como vimos com a pirâmide, o tronco de um cone é o sólido formado pela parte inferior do cone ao realizarmos uma secção em qualquer altura paralela à base. Quando cortamos o cone em uma altura qualquer, ele é dividido em dois sólidos geométricos, um cone menor do que o anterior e o tronco de um cone. O tronco do cone possui fórmulas específicas para que seja possível calcular a área total e o volume desse sólido geométrico.

Elementos do tronco de cone

O tronco de um cone é um caso especial de corpos redondos. Ele recebe esse nome porque, em um cone, quando realizamos uma secção paralela à base, ele é dividido em duas partes. A parte que está embaixo é o tronco do cone.

Dado o tronco de um cone, existem elementos importantes nesse sólido, que recebem nomes específicos.

→ raio da base maior

→ altura do cone

→ raio da base menor

→ geratriz do tronco de cone

Podemos perceber que o tronco do cone é composto por duas faces no formato de círculo, as quais são conhecidas como bases. Além disso, uma delas possui sempre raio menor que o da outra. Assim, r < R e, consequentemente, há uma base maior e uma base menor.

Geratriz do tronco de cone

Dado um tronco de cone, é possível calcular o valor da geratriz desse sólido utilizando o teorema de Pitágoras, quando conhecemos os raios da base maior e menor, além da altura.

Exemplo: Encontre a geratriz de um tronco de cone que possui altura igual a 8 cm, raio da base maior igual a 10 cm e raio da base menor igual a 4 cm. Para encontrar a geratriz do tronco do cone, temos que:

Substituindo na fórmula:

Volume do tronco de cone

Para calcular o volume do tronco do cone, utilizamos a fórmula:

Conhecendo os valores da altura, do raio da base maior e do raio da base menor, é possível calcular o volume do tronco de um cone.

Exemplo: Encontre o volume de um tronco de cone que possui altura igual a 6 cm, raio da base maior igual a 8 cm e raio da base menor igual a 4 cm. Use π = 3,1.

cm³

Planificação do tronco de um cone

A planificação de um sólido geométrico é a representação das suas faces de forma bidimensional. Veja a seguir a planificação do tronco de cone.

Área total do tronco de cone

Conhecendo a planificação de um tronco de cone, é possível calcular o valor da área total desse sólido geométrico. Sabemos que ele é composto por duas bases no formato de um círculo e também pela sua área lateral. A área total do tronco de um cone é a soma das áreas dessas três regiões:

→ área total

→ área da base maior

→ área da base menor

→ área lateral Note que as bases são círculos e que a área lateral parte de uma circunferência, então:

Exemplo: Calcule a área total do tronco de cone que possui altura igual a 12 cm, raio da base maior, igual a 10 cm e raio da base menor igual a 5 cm. Use

. Primeiro encontraremos a geratriz para calcular a área lateral:

Agora calcularemos a área de cada uma das bases:

Exercícios resolvidos

Questão 1 – (Enem 2013) Uma cozinheira, especialista em fazer bolos, utiliza uma forma no formato representado na figura:

Nela se identifica a representação de duas figuras geométricas tridimensionais. Essas figuras são:

Tick all that apply

Check my answer (3)

2- Uma xícara de chá tem a forma de um tronco de cone reto, conforme a figura abaixo. Qual o volume máximo, aproximado, de líquido que ela pode conter?

Lista de exercícios

Determine o volume de um tronco de cone com raio da base inferior de 4 cm, raio da base superior de 2 cm e altura de 6 cm.

2-Calcule a área da superfície lateral de um tronco de cone com raio da base inferior de 7 cm, raio da base superior de 5 cm e geratriz de 10 cm.

3-Encontre o raio da base superior de um tronco de cone com volume de 105π cm³, raio da base inferior de 6 cm e altura de 5 cm:

4-Um tronco de cone tem raio da base inferior de 10 cm, raio da base superior de 4 cm e altura de 8 cm. Calcule sua área total (incluindo as bases).

5-Um tronco de cone é formado pela retirada de um cone menor de um cone maior. O cone maior tem raio da base de 8 cm e altura de 12 cm, enquanto o cone menor tem raio da base de 4 cm e altura de 6 cm. Calcule o volume do tronco de cone resultante

6-Se um tronco de cone tem área da superfície lateral de 260π cm², raio da base inferior de 4 cm e raio da base superior igual a 6 cm, encontre a altura do tronco de cone.

7-Uma vela foi moldada na forma de um tronco de cone, com altura de 12 cm, raio da base menor de 2 cm e raio da base maior de 6 cm. Sabendo que essa vela derrete a uma razão de 2 cm³ por minuto, determine o tempo para ela estar completamente derretida. (Adote π=3)