Darboux Cycliden & Bizirkulare Quartiken

Welcher Zusammenhang besteht zwischen * bizirkularen Quartiken und * DARBOUX Cycliden? Eine Übersicht aus möbiusgeometrischer Sicht. Kurz-Zusammenfassung: Eine bizirkulare Quartik ist eine ebene Kurve 4. Ordnung des Typs:
  • mit linearem und quadratischem und reellen Koeffizienten.
Die Klasse dieser Kurven ist invariant unter Möbiustransformationen. (1) Auf der RIEMANNschen Zahlenkugel entsprechen diesen Kurven genau die Schnitte der Kugel mit einer 2. Quadrik - also einer Raumkurve 4. Ordnung und I. Art CI(4) (so die meist übliche Bezeichnung). (2) Auf der Kugel wie in der GAUSSschen Zahlenebene kann man diese Kurven geometrisch beschreiben als Winkelhalbierende der Kreise zweier Kreisbüschel mit speziellen Eigenschaften. Dieser Eigenschaft entspricht, dass die Kurven Lösungskurven von gewissen elliptischen Differentialgleichungen sind. Eine einzelne bizirkulare Quartik ist stets eine Kurve einer Schar konfokaler bizirkularer Quartiken. Brennpunkte sind die 4 Büschelpunkte der genannten 2 Kreisbüschel. Sie stimmen überein mit den 4 Nullstellen der elliptischen Differentialgleichung. Wichtig für DARBOUX Cycliden ist die folgende Eigenschaft: Zu jeder Symmetrie einer bizirkularen Quartiken gehört eine Schar von Kreisen, welche die Quartik doppelt berühren. Eine DARBOUX Cyclide ist eine Fläche 4. Ordnung des Typs:
  • mit linearem und quadratischem und reellen Koeffizienten.
Die Klasse dieser Flächen ist invariant unter den Möbiustransformationen des Raumes. Zu ihnen gehören die DUPINschen Cycliden. Schneidet man eine DARBOUX Cyclide mit einer Kugel oder einer Ebene, so erhält man als Schnittkurve stets eine CI(4) bzw. eine bizirkulare Quartik. (3) Jede DARBOUX Cyclide besitzt mindestens eine Symmetrie-Kugel und dazu eine Schar doppelt-berührender Kugeln. Doppelt-berührende Kugeln berühren die Cyclide längs eines Kreises auf der Cyclide oder sie schneidet die Cyclide in 2 Kreisen. (4) Aus den Kreisscharen auf einer DARBOUX Cyclide kann man 6-Eck-Gewebe aus Kreisen bilden. (3),(5) (1) geogebrabook Moebiusebene (2) geogebrabook Kugel-Kegel-Schnitte (3) "Darboux Cyclides and Webs from Circles" von H. POTTMANN, LING SHI und M. SKOPENKOV (2012) (4) Kreise auf Darboux Cycliden (5) geogebrabook Sechseck-Netze