Algumas Técnicas de integração

Devido ao Teorema fundamental do cálculo, para determinarmos a integral de uma função f(x) precisamos saber encontrar sua função primitiva F(x). Algumas vezes no processo de integração fazemos uso das primitivas imediatas. Porém quando não for possível encontrar imediatamente uma primitiva, podemos recorrer a algumas técnicas de integração como as apresentadas a seguir. Técnica para cálculo de integral definida da forma Se for possível colocar a integral deste modo, basta expressar tudo em termos de uma  nova variável u, ou seja, devemos por u = g(x) , o que acarretará na substituição du = g’(x)dx.  Será preciso mudar também os limites de integração. Os novos limites de integração são os valores de g(x) correspondentes a x = a e x = b. A regra da substituição para as integrais definidas pode ser enunciada da seguinte forma: Se g’ for contínua em [a,b]  e f for contínua na imagem de u = g(x) , então  Observe com calcular , utilizando o método apresentado acima: Note que Assim, pondo u = 2x + 1, acarretará du = 2dx. Para encontrarmos o novo limite de integração, basta observar que quando x = 0 , u = 2(0) + 1= 1 e quando  x= 4, u = 2(4)+1 = 9. Portanto: Podemos interpretar como a igualdade de áreas sob as curvas e respectivamente nos intervalos [0,4] e  [g(0),g(4)]. Na construção a seguir, mova o controle deslizante e encontre o limite de integração da curva f(x) utilizada no exemplo anterior e verifique geometricamente os resultados encontrados. Em seguida escolha um limite inferior a e um limite superior b para a curva f(x). Note que a escolha de tais limites acarreta na escolha dos limites de integração da curva f(u). Por quê? O quê podemos dizer sobre as regiões?