Elementarmatrizen

Autor:
hawe
Unter einer Elementarmatrix oder Eliminationsmatrix versteht man in der linearen Algebra eine quadratische Matrix, welche sich entweder durch die Änderung eines einzigen Eintrages oder durch Vertauschen zweier Zeilen von einer Einheitsmatrix unterscheidet. (wikipedia). Elementarmatrizen beschreiben z.B. die Schrittfolgen des Gauss-Algorithmus, also Zeilenadditionen, Spaltenadditionen, Zeilen-, oder Spaltentausche).
  1. Typ Zeilen-/Spaltenoperationen: E=(eij), eii = 1, ∃! eij ≠ 0 mit i≠j, (inverse (-1) eij )
  2. Typ Zeilen-/Spaltenmultiplikationen: E=diag(eij), ∃! ejj Faktor, ∀i sonst eii=1, (inverse 1/ejj )
  3. Typ Zeilen-/Spaltenvertauschungen: E= (eij), Zeile i vertauscht mit Zeile j, ( selbstinvers )
Aus Gründen der übersichtlichen Schreibweise und Anwendung führe ich die folg. Notation ein und erzeuge die Elementarmatrizen aus einer Einheitsmatrix:
 Zeilen-, Spalten-Operationen E(z,s,m) ezs=m in Zeile z, Spalte s einer Einheitsmatrix Ausführen der Aktion bei Multiplikation von links: Zeile z = Zeile z + Zeile s * m rechts: Spalte s = m*Spalte z + Spalte s Um in Matrix A das Element zu setzen, kann eine Zeilenoperation angewendet werden. E(2,3,m) A A E(2,3,m)
Zeilen-, Spalten-Tausch T(z,s) tauscht z,s einer Einheitsmatix
Elementarmatrizen haben spezielle Eigenschaften:
  • Multiplikationen von Links sind Zeilenoperationen
  • Multiplikationen von Rechts sind Spaltenoperationen
  • Tauschmatrizen sind Selbstinvers T(1,3) T(1,3) =E
  • ZS-Operationsmatrizen eij () Inverse werden durch Negieren der Werte außerhalb der Diagonalen gebildet E(4,2,1) E(4,2,-1) = E Bei Multiplikation zweier ZS-Operationsmatrizen werden die Einträge eij einfach übernommen, wenn die inneren -E(z,i,m) E(i,s,n)- bzw. äußeren -E(i,s,m) E(z,i,n)- Indizes i verschieden sind E(4,1,1) E(4,2,-1) ===> E'(e'41=1, e'42=-1)
  • ZS-Operationsmatrizen eij (i=j) auf der Diagonalen (e11=a) Multiplikation/Division mit a (e11-1=1/a): E(1,1,8) E(1,1,1/8) = E
Beispiel: Auf A soll der Gauss-Algorithmus, beschrieben durch Elementarmatrizen, angewendet werden
Tausche Zeile1 und Zeile3 ===> damit erstes Diagonalelement 1 ist: A1=T(1,3) A ==>
A1(2,1)=-1 ==> A1(2,1)=0 ===> Zeile2 = Zeile2+Zeile1 A2= E(2,1,1) T(1,3) A 
A2(3,1)=3 ==> A3(3,1)=0 ===> Zeile3 = Zeile3-Zeile1*3 A3=E(3,1,-3) E(2,1,1),T(1,3) A 
A3(3,2)=2 ==> A4(3,2)=0 ===> Zeile3 = Zeile3-Zeile2*2 A4=E(3,2,-2) E(3,1,-3) E(2,1,1),T(1,3) A 
A4(3,3)=-8 ==> A5(3,3)=1 ===> Zeile3 = Zeile3/(-8) A5=E(3,3,-1/8) E(3,2,-2) E(3,1,-3) E(2,1,1),T(1,3) A 
A5(2,3)=4 ==> A6(2,3)=0 ===> Zeile2 = Zeile2-Zeile3*4 A6= E(2,3,-4) E(3,3,-9/8) E(3,2,-2) E(3,1,-3) E(2,1,1),T(1,3) A 
A6(1,3)=1 ==> A7(1,3)=0 ===> E ===> Zeile1 = Zeile1-Zeile3 E=E(1,3,-1) E(2,3,-4) E(3,3,-9/8) E(3,2,-2) E(3,1,-3) E(2,1,1),T(1,3) A 
===> A-1 = E(1,3,-1) E(2,3,-4) E(3,3,-1/8) E(3,2,-2) E(3,1,-3) E(2,1,1) T(1,3) ===> Invertieren der Elementarmatrizen (reverse Reiehenfolge) mit negativen Faktoren ===> A = T(1, 3) E(2, 1, -1) E(3, 1, 3) E(3, 2, 2) E(3, 3,-8) E(2, 3, 4) E(1, 3, 1)

ElementarMatrizenDarstellung2.ggb

Technische Hinweise

Zur Erzeugung der Elementarmatrizen kommen Funktionen T(z,s), E(z,s,m) zum Einsatz. Eine E-Matrize mit den Parameterangaben von Links multipliziert liest sich als
  • E(4,3,2) : Zeile4 = Zeile4+Zeile3*2
  • E(2,2,4) : Diagonalelement e22=1 ===> 4
  • E(3,1,-a31/a11) : A Element a31 soll durch Addition von -a31/a11*Zeile1A zum Null-Eintrag werden
  • L_i(A,n): Elementarmatrizen-Produkt um in A Spalte n unter der Diagonalen Nullen zu erzeugen
var n=Length(A) Achtung: Eingabe der user-functions T(), E() mit [keep input] Toolbar Image abschließen T(zz,ss):=Sequence(Element(Identity(n), If(kk<>zz && kk<>ss,kk,If(kk==zz,Max(zz,ss),Min(zz,ss)))),kk,1,n)Toolbar Image E(zle,spl,kk):=Sequence(Sequence(Element(Identity(n), zz,ss)-1*(zle==spl && zle==zz &&spl==ss)*1+If(zz==zle && ss==spl,kk,0),ss,1,n),zz,1,n)Toolbar Image E_i(zz,ss,kk,nn):= Identity(nn) + kk Transpose(Element(Identity(nn),zz)) {Element(Identity(nn),ss)} L_i(AA,ss):=Identity(n) -Transpose({Join(Take(Element(Identity(n),n),1,ss) ,Take(Element(Transpose(AA), ss),ss+1)/Element(AA, ss,ss)) }) Take(Identity(n),ss,ss);Toolbar Image Ggf. die Funktionsdef um Matrizendimension erweitern E(zle,spl,fzs,nn),T(zz,ss,nn) wenn Rnxm Matrizen bearbeitet werden sollen! Eine eigene Matrix A geben sie in Algebra View oder über die Eingabezeile ein. Die Elementarmatrizen erstellen sie im CAS Zeile 3 in Listenform (damit sie einzeln angezeigt werden) 4: LE enthält eine Liste von Elementarmatrizen die mit der Funktion Produkt multipliziert werden (erfolgt in Algebra View weil im CAS fehlerhaft) 5: LEA ist das Produkt LE A

ReducedRowEchelonForm P A Q Zeilen/Spalten-Operationen (Gauß-Step-Helper)

Restklassen IP₇ - lineares Gleichungssystem (umformen mit Elementarmatrizen)