teorema del sinus
- Author:
- Enric Brasó
Teorema del sinus
Mou els vèrtexs A, B i C del triangle.
Aquesta construcció sempre es manté, sigui quina sigui la seva posició.
El primer pas d'aquesta construcció consisteix a dibuixar les mediatrius de cada costat per determinar el punt on es troben anomenat circumcentre O ja que és el centre de la circumferència circumscrita al triangle. Un cop dibuixades, les 3 mediatrius s'han amagat per tal de no enredar el dibuix.
En segon lloc es dibuixen els segments OB, OC i OM on M és el punt mig del costat a
Ara cal raonar que:
L'angle BOC és el doble que l'angle α ja que els angles centrals mesuren el doble que els inscrits que abarquen el mateix arc.
L'angle α1 és la meitat del BOC ja que el triangle BOC és isosceles doncs els costats OB i OC són iguals al radi de la circumferència i l'altura és OM.
Per tant els angles α i α1són iguals tal com comprova el mateix GeoGebra al donar-nos els seus valors.
Ara al triangle rectangle MOC tenim que sin α = sin α1 = (a/2) / R
La hipotenusa OC s'anomena R ja que és el radi de la circumferència circumscrita.
Aïllant es té : 2R = a / sin α
Com que es pot fer el mateix pels altres costats:
2R = b / sin β 2R = c / sin γ
I ja es conclou l'anomenat teorema del Sinus, vàlid per a tots els triangles.