¿Cómo dibujar funciones en Geogebra?

Autor:: Daniel Partal García

Una función es un juego con reglas matemáticas.

Imagina el siguiente juego. A cada color le vamos a asociar un número que coincida con el número de letras que forman el nombre del color. Por ejemplo:

ROJO se asocia al número 4, porque hay cuatro letras en el nombre ROJO.
VERDE se asocia al número 5, porque hay cinco letras en el nombre VERDE.
AZUL se asocia también al número 4, porque hay cuatro letras en el nombre AZUL.
...
...

Y así podríamos razonar con todos los colores: AMARILLO (8), NARANJA (7), BLANCO (6), etc. Cada color tiene asociado un único número. Mientras que cada número puede estar vinculado a más de un color distinto. Si en vez de relacionar colores con números, relacionamos números con números, tendremos una función matemática. Por ejemplo:

Significa que al número "x" que imaginemos, lo vamos a multiplicar por 2 y luego le vamos a sumar 1 para conseguir el valor de "y". Así podemos obtener:

si tendremos y la pareja de valores relacionados es .
si tendremos y la pareja de valores relacionados es .
si tendremos y la pareja de valores relacionados es .
...
...

Si estas operaciones las reproducimos con los infinitos valores de la recta real, y dibujamos las parejas de valores resultantes en un sistema de ejes perpendiculares (primera coordenada en el eje horizontal, segunda coordenada en el eje vertical), tendremos la gráfica de la función. El valor de "x" se conoce como variable independiente. Mientras que el valor de "y" se conoce como variable dependiente. La pareja de valores se expresa (x,y). Geogebra llama a "y" con el nombre f(x): función f que depende de la variable x. Si dibujamos muchas funciones en Geogebra, aparecen otros nombres (g(x), h(x), etc.)). Para escribir en la línea de entrada una función, solo debes escribir la ecuación que depende de "x", sin necesidad de nombrarla como "y" o como "f(x)". Geogebra dará automáticamente un nombre a la función.

Escribe en la línea de entrada otras funciones matemáticas distintas de la del ejemplo. Puedes usar polinomios de cualquier grado.

Funciones polinómicas.

Un polinomio es una expresión matemática donde una variable "x" se eleva a cualquier potencia y se multiplica por números reales. Una recta como la de antes (

) es una función polinómica de grado uno (porque la variable "x" aparece elevada, como máximo, al exponente 1). El siguiente ejemplo es una función polinómica de grado dos:

Y este ejemplo muestra una función polinómica de grado tres:

Como puedes imaginar, hay infinitas funciones polinómicas de grado uno, de grado dos, de grado tres, de grado cuatro, etc. Vamos a centrarnos en las funciones polinómicas de grado dos. También llamadas funciones parabólicas por la forma de su gráfica. En una función polinómica aparece un número "a" que multiplica a la variable "x" al cuadrado, más un número "b" que multiplica a la variable "x" más un número "c". Su forma general es:

Donde

son números reales. El número "a" se llama coeficiente líder. El número "c" se llama término independiente.

Escribe en la línea de entrada funciones polinómicas de grado dos. Comprueba cómo cambia la forma de la parábola según modificas los valores de a, b, c.

¿Qué pasa si el coeficiente líder "a" pasa de positivo a negativo? ¿Cómo cambia la forma de la parábola? Escribe tu respuesta.

El eje horizontal se representa por la función y=0. ¿Se te ocurre cómo obtener una ecuación que nos de los valores de los puntos de corte de una parábola con el eje horizontal? Escribe tu respuesta.

Para que una función parabólica

corte al eje horizontal, necesitamos que el valor de la variable dependiente

sea igual a cero. Es decir:

Eso provoca que tengamos que resolver una ecuación de segundo grado:

Una ecuación de segundo grado de números reales puede tener:

dos soluciones: la gráfica de la parábola corta dos veces al eje horizontal.
una solución: la gráfica de la parábola corta una sola vez al eje horizontal.
ninguna solución: la gráfica e la parábola nunca corta al eje horizontal.

Fíjate en la siguiente animación. En vez de introducir deslizadores vamos a usar casillas de entrada en Geogebra para modificar los valores de los parámetros "a", "b" y "c". Crea en tu versión de Geogebra de escritorio una simulación lo más parecida a la que tienes a continuación. Primero deberás crear tres deslizadores a, b y c. Y luego deberás actualizar los valores de los deslizadores con las casillas de entrada. Además, Geogebra tiene un botón para obtener los puntos de corte de la función con la recta y=0 del eje horizontal.

Varía los valores de las casillas de entrada para modificar los parámetros de la función parabólica. Busca valores que provoquen que la parábola corte dos veces, una vez o ninguna vez al eje horizontal.