Suma de una progresión aritmético geométrica
- Autor:
- Ignacio Larrosa Cañestro
Los términos de una progresión aritmético geométrica de grado k, son iguales al producto de un polinomio de grado k, por las potencias de la razón:
an = Pk(n)·rn
Aquí se muestra gráficamente la suma de todos los términos de la progresión, la suma de la serie aritmético geométrica de primer grado con P1(n) = ½n y r = ½: a(n) = n·(½)n+1
La serie converge ⇔ |r| < 1
Para sumar las de primer grado, tanto las sumas finitas como las series cuando |r| < 1, basta con multiplicar la suma/serie por la razón y restarla de la suma:
,
Y de aquí se despeja Sn, después de sumar la progresión geométrica. Si |r| < 1, el último término tiende a 0 cuando n → ∞, y queda
En el ejemplo, a = 0, b = r = ½.
Si el polinomio es de grado superior al primero, debe repetirse el proceso, rebajandose un grado de cada vez.