Cassini 2
Diese Seite ist Teil des GeoGebra-Books Moebiusebene.
Der Ort, in welchem sich die Kreise zweier Kreisbüschel unter konstantem Winkel schneiden, ist eine Cassini-Lemniskate. Vorausgesetzt ist für diese Aussage, dass die Kreisbüschel 4 verschiedene Pole besitzen. In obigem Applet sind die Pole in Normalform gebracht (s. Abschnitt zur Lage von 4 Punkten). Die Kreise des Kreisbüschels durch und und die Kreise des Kreisbüschels durch und schneiden sich unter konstantem Winkel auf der Cassini-Quartik mit und . Diese Quartik entsteht unter der Wurzelabbildung aus dem Umfangswinkelkreis über den Punkten und zum Winkel . Für die Winkel gilt die Geichung : . Bewegen Sie im Applet oben den Büschelpunkt und den Mittelpunkt auf der Mittelsenkrechten über und . Liegt auf der -Achse, so berühren sich die Kreise auf der Cassini-Lemniskate, liegt auf der -Achse, so schneiden die Kreise sich unter . Die Pole der Kreisbüschel liegen selber auf der Cassini-Lemniskate. Besonders einfach wird der Zusammenhang, wenn man auf der x-Achse wählt (). In dem Applet oben sind die Büschelpunkte in Normalform angegegeben. Die Rechnungen vereinfachen sich dadurch. Die Assagen sind aber unabhängig von der Normierung. Es gilt generell: Unter der komplexen Wurzelabbildung entstehen aus Kreisen Cassini-Quartiken. Diese Quartiken sind zweiteilig, wenn der Ursprung nicht im Inneren des Kreises des Kreises liegt, einteilig, wenn der Ursprung im Inneren liegt. Liegt der Ursprung auf dem Kreis, so entsteht eine Bernoulli-Lmniskate. Aus Geraden entstehen orthogonale Hyperbeln, bzw. Ursprungsgeraden entsteht ein Paar orthogonaler Ursprungsgeraden. Die Cassini-Quartiken sind eine möbiusgeometrische Verallgemeinerung des euklidischen Umfangswinkelsatz: Für zwei Kreisbüschel mit 4 verschiedenen Polen ist der Ort, in welchem sich die Kreise unter einem konstanten Winkel schneiden, möbiusgeometrisch eine Cassini-Quartik. Unten Ist das Bild eines Kreises unter der Wurzel-Funktion konstruiert. Für die Wurzel-Funktion benötigt man eine reelle Achse und einen Kreis, der als Einheitskreis dient (gelb). Die Punkte auf der Cassini-Quartik gehören ursprungssymmetrisch paarweise zusammen: von zwei solchen Punktepaaren erscheint ein beliebiger Punkt auf der Quartik stets unter demselben Winkel. Wie im euklidischen Falle gibt es 2 Peripheriewinkel-Bögen.