Google ClassroomTítulo para compartir en Google Classroom
GeoGebraAula GeoGebra

Favo de panal

Un favo dun panal ten forma de prisma hexagonal regular, pero cuxo fondo remata en tres rombos. Pode obterse a partir do prisma, cortando tres tetraedros polos lados dun triángulo equilátero inscrito na base e pegándoos a este triángulo. Así o volume non cambia, pero a superficie diminúe, se os planos forman un ángulo axeitado. Aqui considerouse o ángulo que forman estois planos coas arestas laterlaes do prisma. Na fórmula da área lateral mostrada, do prisma apuntado, se se fai =90º obtense a área lateral do prisma máis a dunha base. Na vista CAS determínase o mínimo desta área lateral que se obtén para = arccos(1/√3) ≈ 54.7356º. Para este ángulo de corte, o ángulo do rombo que limita con dúas caras laterais do prisma é xusto o dobre. É tamén o ángulo que forman as caras dun octaedro cun plano diametral. Resulta que o ángulo real dos favos é xustamente ese, de maneira que as abellas os constrúen de forman que minimizan a cantidade de cera necesaria para albergar un mesmo volume.
Pulsa nos botóns Favo e Prisma para ver como se transforma un noutro, co mesmo volume. Activa a Vista Gráfica (principal) e pon na liña de entrada a función que dá a área lateral, substituíndo o ángulo por x, para ver a gráfica da función e comprobar que para x = arccos(1/√3) ≈ 0.9553 (en radiáns) se presenta un mínimo. O ángulo para o que se produce o mínimo é evidentemente independente da altura e o lado da base do prisma.