Geradenschnittpunkt und Matrix

Geraden in der Ebene können sich schneiden, parallel zueinander liegen oder identisch sein. Die Untersuchung auf die Lagebeziehung erfolgt durch das Lösen von Gleichungssystemen. Wir werden hier eine Verbindung zur Betrachtung von Matrizen herstellen. Im Applet können Sie mit den Schiebereglern die Koeffizienten des zugehörigen Gleichungssystems ändern. Durch Ziehen der Punkte und kann die gegenseitige Lage der Geraden weiter geändert werden.

Die Lage der Geraden und zueinander lässt sich mit dem Gleichungssystem

untersuchen. Es wird auch in der Form geschrieben. heißt Koeffizientenmatrix. Damit kann das Produkt auch als Abbildung von auf aufgefasst werden. Zur Lösung des Gleichungssystems wendet man meist den Gauß-Algorithmus an, der das System in

überführt. Von großer Bedeutung für die Lösbarkeit ist der Faktor . Er heißt Determinante der Matrix . Ist verschieden von null, kann und anschließend auch berechnet werden. Das Gleichungssystem ist eindeutig lösbar und die zugehörigen Geraden schneiden sich in genau einem Punkt. Ist die Determinante gleich null, gibt es zwei Möglichkeiten: Die rechte Seite ist verschieden von null. Dadurch entsteht eine falsche Aussage. Das Gleichungssystem hat keine Lösung; die beiden Geraden liegen parallel zueinander. Ist die rechte Seite aber auch null, so sind und nur noch durch die erste Gleichung miteinander verknüpft. Alle Zahlenpaare, aus denen die Punkte der ersten Geraden gebildet werden, sind Lösung des Systems. Die Geraden liegen identisch. Homogene Gleichungssysteme Die allgemeinen Eigenschaften linearer Gleichungssysteme sind uns jetzt bekannt. Wenn Sie nun die Punkte und in den Ursprung verschieben, haben die beiden Geraden stets diesen Punkt mit dem Koordinatenpaar Gemeinsam. Für das Gleichungssystem bedeutet das: Wenn der Ergebnisvektor der Nullvektor ist, hat das System mindestens die triviale Lösung, bei der alle Werte des Tupels (bei auch mehr als zwei Gleichungen) null sind. Soll das Gleichungssystem auch noch andere Lösungen besitzen, dann bleibt nur noch der Fall, bei dem in unserem Beispiel die Geraden identisch liegen. Dann ist die Determinante der Koeffizientenmatrix gleich null. Wir können also zusammenfassend festhalten: Ist , dann hat das zugehörige Gleichungssystem genau eine Lösung. Darunter ist bei homogenen Systemen die triviale Lösung. Ist bei letzteren die Determinante gleich null, existieren zudem noch beliebig viele weitere Lösungen.