Mínimo Común Múltiplo y Máximo Común Divisor

Autor:
JLF

1. Mínimo Común Múltiplo

El mínimo común múltiplo de dos números a y b es el número más pequeño que es múltiplo de a y múltiplo de b. Para denotar el mínimo común múltiplo de a y b escribiremos m.c.m.(ab) ó mcm(ab). La forma más rápida de calcular el mínimo común múltiplo de dos números es
  • Descomponemos los números en números primos (producto de potencias de primos).
  • El mínimo común múltiplo es el producto de todas las potencias que aparecen en las descomposiciones,
  • pero si alguna de las bases aparece en ambas descomposiciones, escogemos la de mayor exponente.
Ejemplo: Calculamos el mínimo común múltiplo de 180 y 324. Sus descomposiciones son:  El mínimo común múltiplo tendrá las potencias de base 5, de base 3 y de base 2.
  • la potencia de base 2 tiene el exponente 2 en las dos descomposiciones, así que escribiremos
  • la potencia de base 3 tiene los exponentes 2 y 4. Nos quedamos con el mayor:
  • la potencia de base 5 sólo aparece en una de las descomposiciones, pero este hecho es irrelevante.
Por tanto, el mínimo común múltiplo de 180 y 324 es

2. Máximo Común Divisor

El máximo común divisor de dos números a y b es el número más grande que divide a a y divide a b. Para denotar el máximo común divisor de a y b escribiremos M.C.D.(ab) ó MCD(ab). La forma más rápida de calcular el máximo común divisor de dos números es:
  • Descomponemos los números en números primos (producto de potencias de primos).
  • El máximo común divisor es el producto de las potencias que aparecen en las dos descomposiciones,
  • pero cuyo exponente sea el menor.
Ejemplo: Calculamos el máximo común divisor de 180 y 324. Sus descomposiciones son:  El máximo común divisor será el producto de una potencia de base 2 y otra de base 3, ya que son las bases que aparecen en las dos descomposiciones.
  • la potencia de base 2 tiene el exponente 2 en las dos descomposiciones, así que escribiremos
  • la potencia de base 3 tiene los exponentes 2 y 4. Nos quedamos con el menor:
Por tanto, el máximo común divisor de 180 y 324 es