Rechenregeln für bestimmte Integrale
Einführung
Integralrechnung dient der Ermittlung von Flächenbilanzen oder der Flächenberechnung zwischen einem Graphen einer Funktion und der x-Achse sowie der Strecken- und Massenberechnung. In dem folgenden Projekt beschäftigen wir uns mit den Rechenregeln von Integralen (vergleiche Bigalke-Köhler Q1 Mathematik 2016 LK Hessen). Wir berücksichtigen in diesem Projekt nicht die tatsächlichen Flächen, sondern nur die Flächenbilanzen. Das bedeutet, dass negative Flächen mit positiven verrechnet werden, also gilt F (b) - F(a).
Rechenregel 1: Allgemeine Vereinbarung
Das Applet 1 zeigt uns die Kosinus-Funktion und die dazugehörige Fläche des Integrals in den Intervallgrenzen [a,b] = [-3,3]. Die "Allgemeine Vereinbarung" besagt, wenn wir ein Integral mit gleicher oberer und unterer Integrationsgrenze berechnen, so ergibt der Flächeninhalt Null.
Forscher*innenauftrag 1 - Allgemeine Vereinbarung Erforsche diesen Sachverhalt und schiebe die Schieberegler a und b an Applet 1 an einer beliebigen Stelle genau übereinander. Was zeigen dir die Flächenbilanzen an den unterschiedlichen Stellen?
Applet 1
Forscher*innenauftrag 2 - Allgemeine Vereinbarung Überprüfe die Erkenntnis aus dem Forscher*innenauftrag 1 rechnerisch anhand dem Integral .
Rechenregel 2: Vertauschen der Grenzen
Forscher*innenauftrag 1 - Vertauschen der Grenzen Stelle in Applet 2 für a und b jeweils einen (anderen) Wert ein. Lies den Wert des Integrals ab. Vertausche nun die Werte für die Grenzen und lies erneut den Wert des Integrals ab. Wiederhole dies für verschiedene Kombinationen von a und b. Beschreibe, wie sich die Werte der beiden Integrale zueinander verhalten.
Applet 2
Rechenregel 3.1: Linearität (Faktorregel)
Wenn eine gegebene Funktion f(x), wie in Applet 3, einen konstanten Faktor enthält - hier unsere Funktion *g(x) - ist es erlaubt, diese Konstante vor das Integral zu ziehen. Man kann dies mit dem Ausklammern einer Konstante vergleichen. Diese Regel wird auch Faktorregel genannt.
Forscher*innenauftrag 1 - Linearität (Faktortregel) Schau dir die Funktion f(x) an und ermittle mit den Schiebereglern die Flächenbilanz im Intervall [-3,3]. Jetzt verschiebe den Schieberegler von um einzelne positive oder negative Zahlenwerte. Notiere dir die einzelnen Werte und vergleiche sie untereinander. Was fällt dir bei den Werten der Flächenbilanzen auf?
Applet 3
Forscher*innenauftrag 2 - Linearität (Faktorregel) Überprüfe die Eigenschaft der Linearität von Integralen mit Hilfe der Faktorregel rechnerisch. Berechne das unten stehende Integral auf zwei Lösungswegen: Bei der 1. Rechnung integrierst Du das gesamte Integral, bei der 2. Rechnung ziehst du den Faktor vor das Integral und multiplizierst ihn zum Schluss mit Deinem Ergebnis. Berechne:
Rechenregel 3.2: Linearität (Summenregel)
Die abgebildete Rechenregel beschreibt die "Linearität" von bestimmten Integralen. Das bedeutet, dass man ein Integral mit einer Summe in zwei einzelne Integrale aufsplitten und diese nach dem einzelnen Integrieren addieren darf. Gleiches gilt bei einer Subtraktion. Diese Regel wird daher auch als Summenregel bezeichnet.Forscher*innenauftrag 1 - Linearität (Summenregel) Das Applet 4 zeigt Dir die Funktionen f(x), g(x) und h(x). Die Summe aus den Funktionen f(x) und g(x) ist h(x). Blende die Funktion h(x) ein und ermittle die Flächenbilanz im Intervall von [-3,3]. Gemäß der Rechenregel, dass die beiden einzeln integrierten Funktionen f(x) und g(x) die gleiche Flächenbilanz ergeben, blende nun h(x) aus und ermittle die beiden Flächenbilanzen von f(x) und g(x). Addiere beide Flächenbilanzen und vergleiche das Ergebnis mit der Flächenbilanz von h(x). Was hast du herausgefunden?
Applet 4
Forscher*innenauftrag 2 - Linearität (Summenregel) Überprüfe die Eigenschaft der Linearität von Integralen rechnerisch. Berechne mit Hilfe der Summenregel das unten stehende Integral auf beiden Lösungswegen. D.h. zuerst integrierst Du das gesamte Integral, das zweite Mal splittest du die Summe in zwei Einzelintegrale auf. Du kannst Dich selbst überprüfen, denn beide Ergebnisse müssen gemäß der Summenregel übereinstimmen. Berechne: