Conjunto generador
¿QUÉ ES UN CONJUNTO GENERADOR?
Para este concepto tenemos que entender el concepto de combinación lineal.
Podemos notar que un vector en , por ejemplo, se puede denotar de la forma . De modo que se dice que el vector es una combinación lineal de los tres vectores . Por lo tanto se define más formalmente de la siguiente manera:
Sea un e.v.r. y vectores en V. Un vector en este espacio vectorial es llamado combinación lineal de si existen escalares tales que .
Así que para que una combinación sea válida deben existir siempre escalares que "generen" el vector, lo cual para obtenerlo nos lleva a resolver un sistema de ecuaciones.
Continuemos con nuestro siguiente concepto. El generado de un vector, considerando a como un e.v.r., con y , será denotado como para .
AFIRMACIÓN: El es un subespacio de si se demuestra que:
- si
- y un escalar
Notemos además que se debe cumplir que tanto y .
EJERCICIO EN R2
5. Determine si el conjunto dado genera el espacio vectorial dado:
En
Sabemos que para que se cumpla que el conjunto genera el espacio debe cubrir las dos condiciones:
y
Por definición el generado del conjunto se encuentra en el espacio vectorial , por lo que ahora queda demostrar la segunda condición. Para esto proseguimos a lo siguiente:
Sea y escalares, se obtiene el sistema
1.
2.
Resolvemos el sistema para obtener el valor de cada uno de los escalares:
De esto obtenemos que existe una variable libre, siendo a la que denotaremos como teniendo el siguiente sistema:
con
Nuestras variables delanteras vendrían siendo nuestros y los cuales debemos tenerlas en función de que es la variable libre.
Sustituyendo en obtenemos
Nuestros coeficientes tienen los valores con :
Concluyendo podemos decir que como existen los escalares el conjunto sí genera el plano.
De esto obtenemos que existe una variable libre, siendo a la que denotaremos como teniendo el siguiente sistema:
con
Nuestras variables delanteras vendrían siendo nuestros y los cuales debemos tenerlas en función de que es la variable libre.
Sustituyendo en obtenemos
Nuestros coeficientes tienen los valores con :
Concluyendo podemos decir que como existen los escalares el conjunto sí genera el plano.EJERCICIO EN R3
8. En
Igualmente que en nuestro ejercicio anterior en debemos buscar que se cumplan las mismas condiciones, tal que también debemos encontrar los coeficientes si es que existen.
En este caso obtenemos sistema que genera un matriz cuadrada de , por lo que un método rápido para analizar si existen los coeficientes es utilizando la regla de Cramer.
Debido a que nuestro determinante es igual a 0 concluimos que no existe una solución al sistema, en caso de que nuestro determinante hubiese sido distinto de cero iríamos directamente a resolver el sistema para conocer los coeficientes.
Por lo tanto se concluye que el conjunto no genera el espacio vectorial dado.
Debido a que nuestro determinante es igual a 0 concluimos que no existe una solución al sistema, en caso de que nuestro determinante hubiese sido distinto de cero iríamos directamente a resolver el sistema para conocer los coeficientes.
Por lo tanto se concluye que el conjunto no genera el espacio vectorial dado.