Wendepunkte und Krümmung von Funktionen
In dieser Unterrichtseinheit lernst du, wie man Wendepunkte einer Funktion bestimmt und die Krümmung in verschiedenen Intervallen analysiert.
Nutze die zweite Ableitung, um herauszufinden, ob die Funktion in einem Intervall rechts- oder linksgekrümmt ist und ob ein Wendepunkt vorliegt.
Die Bedeutung der zweiten Ableitung
Die zweite Ableitung einer Funktion gibt an, wie sich die Steigung der Funktion verändert. Damit können wir die Krümmung der Funktion analysieren:
- Wenn : Die Funktion ist in diesem Intervall linksgekrümmt.
- Wenn : Die Funktion ist in diesem Intervall rechtsgekrümmt.
- Wenn : Dies könnte ein Wendepunkt sein, wenn sich das Krümmungsverhalten ändert.
Was bedeutet es, wenn für ein Intervall gilt?
Beispiel – Bestimme die Wendepunkte und die Krümmung
Betrachten wir die Funktion . Gehe die folgenden Schritte durch, um die Wendepunkte und die Krümmung der Funktion zu bestimmen:
1. Schritt: Erste und zweite Ableitung
Berechne und dann .
2. Schritt: Nullstellen der zweiten Ableitung
Setze und löse nach auf.
3. Schritt: Festlegen der Krümmungsintervalle
Bestimme mit der Lösung von Schritt 2. die Intervalle unterschiedlicher Krümmung.
4. Schritt: Bestimmen der Krümmung in den Intervallen
Bestimme das Vorzeichen von in jedem Intervall, um festzustellen, ob die Funktion dort links- oder rechtsgekrümmt ist und ob ein Wendepunkt vorliegt.
Schritt 5: y-Koordinate des Wendepunktes
Berechne den Funktionswert an der Wendestelle um den Wendepunkt vollständig anzugeben.
Wie kann die zweite Ableitung verwendet werden, um Wendepunkte zu finden?
Welche Bedeutung hat es, wenn die zweite Ableitung einer Funktion in einem Intervall negativ ist?
Übungsaufgabe
Untersuche die Krümmung der Funktion und bestimme mögliche Wendepunkte mithilfe folgender Schritte
1. Berechne die erste und zweite Ableitung und .
2. Finde die Nullstellen von und bestimme die Intervalle.
3. Bestimme das Vorzeichen von in jedem Intervall.
4. Identifiziere Wendepunkte und gib an, ob die Funktion rechts- oder linksgekrümmt ist.