Forma generica e caratteristiche della parabola
- Autore:
- Ilic Ferretti
- Argomento:
- Parabola
Il modo più intuitivo per presentare la parabola, ad esempio per introdurre il metodo della parabola per risolvere le disequazioni di secondo grado, è dire che essa è la rappresentazione sul piano cartesiano di una espressione di secondo grado , dove , e sono tre numeri stabiliti di volta in volta.
Studiando il metodo della parabola abbiamo dato per buono (cioè vi siete fidati del prof) che:
- tutte le espressioni di questo tipo siano rappresentate da una curva di tipo parabolico.
- il segno del coefficiente stabilisca se la parabola è rivolta verso l'alto o verso il basso
- Iniziamo rappresentando sul piano l'espressione di secondo grado più semplice possibile: vedremo che il suo grafico è una parabola e ne osserveremo le caratteristiche;
- il secondo passaggio sarà di complicare un po' questa espressione moltiplicando la per un coefficiente ; vedremo come alcune caratteristiche cambiano, mentre le altre rimangono identiche;
- infine dimostreremo che qualsiasi espressione di secondo grado può essere ricondotta a questi casi più semplici, e quindi ha come grafico una parabola.
FACCIAMO IL PUNTO
Abbiamo visto che se una grandezza cambia seguendo l'espressione , il grafico che descrive questo cambiamento ha alcune caratteristiche molto importanti:
- se è positivo la funzione è [quasi] sempre positiva (è rivolta verso l'alto) mentre se è negativo la parabola è rivolta verso il basso (risultati [quasi] sempre negativi);
- ha un asse di simmetria, che in questo caso è la retta : la metà del grafico a destra dell'asse "si specchia" in quella a sinistra. Questo perché una qualsiasi e la corrispondente danno sempre lo stesso risultato. Impareremo che funzioni che hanno questa proprietà si dicono PARI (puoi immaginare perché?);
- il punto della parabola che giace sull'asse di simmetria, detto vertice della parabola, è il punto dove si ottiene il risultato minimo (quando ) o massimo (in caso contrario). Negli esempi visti questo risultato è .
Abbiamo fatto un grande lavoro: abbiamo dimostrato che partendo dalla parabola possiamo, con opportune manipolazioni, ottenere qualsiasi parabola, che in genere ha l'espressione che ci aspettiamo, cioè . Abbiamo inoltre conosciuto una forma che a volte è particolarmente comoda,
Che in Inglese è detta Vertex Form perché mette in evidenza le coordinate del vertice della parabola: se riguardi l'animazione noterai che una parabola traslata di forma ha il suo vertice che viene traslato proprio nel punto .
Per completare la nostra conoscenza sulle parabole ci manca un ultimo passo, quello inverso: sappiamo che una espressione di tipo Vertex Form rappresenta una parabola (la parabola base che è stata traslata ed eventualmente "stirata" o "appiattita"), e sappiamo svolgendo i conti tutte le Vertex Form diventano del tipo
Ma possiamo essere sicuri del contrario, cioè che una qualsiasi espressione è davvero una Vertex Form e quindi è una parabola trasformata in qualche modo? Non potrebbero esserci delle espressioni di secondo grado che NON corrispondono ad una Vertex Form e quindi NON sono una parabola, ma qualcos'altro?
Lo vediamo nel prossimo paragrafo, applicando una tecnica che forse hai già incontrato.
LA PARABOLA GENERICA: TRASLAZIONI E COMPLETAMENTO DEL QUADRATO
Vogliamo ora studiare la parabola generica , mostrando come può essere sempre considerata una variazione dei casi appena visti. In particolare la manipoleremo in modo da ricondurla alla Vertex Form del tipo .
Partiamo da un esempio numerico, come .
Volendo arrivare alla Vertex Form cerchiamo di racchiudere le in un quadrato di binomio, applicando il metodo di completamento del quadrato, lo stesso su cui si basa la formula risolutiva delle equazioni di secondo grado.
Procediamo così: portiamo il termine noto a primo membro, perché vogliamo concentrarci sui termini con le :
Raccogliamo il per evidenziare che è un quadrato:
A questo punto completiamo l'espressione in rosso in modo che risulti un quadrato di binomio in cui è il primo monomio. In questo caso, numericamente semplice, puoi intuire che il secondo quadrato è .
Se ne hai bisogno puoi vedere il ragionamento nel dettaglio qui sotto.
Se vogliamo che l'espressione rossa sia un quadrato di binomio, ad esempio , abbiamo che:
- se deve essere il doppio prodotto, cioè , da cui semplificando la otteniamo ; da qui possiamo ricavare il secondo monomio invertendo: ,
- aggiungiamo quindi il quadrato del secondo monomio, .
Ne concludiamo che la parabola che stiamo studiando avrà le seguenti caratteristiche:
- è rivolta verso l'alto perchè il coefficiente di è positivo e la traslazione non cambia questa caratteristica. Da notare che era il coefficiente di nella parabola originaria , ed il metodo di completamento del quadrato non modifica mai il coefficiente ; ne consegue che il segno di questo coefficiente indica l'orientamento di qualsiasi parabola.
- l'asse di simmetria c'è ancora, ma si è spostato nella retta , in conseguenza della traslazione. La funzione è ancora simmetrica (ma in generale non è più pari, perché questo vale solo nel caso specifico in cui e danno lo stesso risultato, cioè se l'asse di simmetria è proprio l'asse ).
- sempre in conseguenza della traslazione anche il vertice si è spostato, in questo caso è il punto ; continua ad essere il punto di minimo (o di massimo), dato che la traslazione non modifica la forma della curva.
ORA PROVA TU
Considera la parabola . Che caratteristiche avrà?
Considera sempre la parabola ed applicale il metodo del completamento del quadrato. In quale punto si trova il suo vertice?