H 05 Azt tanultuk az iskolában ...
- Szerző:
- Szilassi Lajos
"Azt tanultuk az iskolában, hogy ha egy egyenes körkúpot elmetszünk egy olyan síkkal, amely a kúp minden alkotóját metszi, de nem merőleges a kúp tengelyére, akkor a keletkező síkmetszet ellipszis lesz. "
"Azt tanultuk az egyetemen ‑ mondhatja egy gépészmérnök ‑, hogy egy ellipszis alapú egyenes kúpnak két különböző irányú metszősíkkal kapott körmetszete is van. "
Talán túlzott hivalkodás e sorok írójától, hogy saját magát idézi. Abban a reményben teszi ezt, hogy a kritikus olvasó enyhít a szigorú véleményén, ha ide kattint , ezen belül letölti ezt az olvasnivalót, még ezen is belül megkeresi - esetleg el is olvassa - a 27. oldalon talon található írást, ahonnan a fenti két (kulcs)mondat származik.
Helix: Kelle Antal artformer műalkotása
A "geometriai szemléltetőeszköz"
Az alábbi GeoGebra appletben megkíséreljük geometriai - és technikai - szempontból elemezni ezt a hélixnek nevezett műalkotást. (Hélix: spirál,csigavonal) Hamarosan kiderül, mi indokolta a két - bevezetőként - idézett mondatot.
Itt jegyezzük meg - szerényen, kis betűvel -, hogy az első mondat talán nem is vonatkozik mindannyiunkra. Tudomásunk szerint az ellipszis fogalma nem szerepel a középiskolai matematikai tantervben. Ezzel együtt feltételezzük, hogy olvasóink számára ismerősek lesznek az alább használt fogalmak.
Induljunk ki a második idézett mondatból.
Kelle Antal gyönyörűen kivitelezett fa konstrukciói ellipszis alapú egyenes kúpok, amelyek elforgathatók a - különböző irányú : kör metszeteik mentén.
Az alábbi appletben az öt körmetszet hat csonkolt kúpra osztja a megadott ellipszis alapú kúpot, Ezek láthatósága ki-be kapcsolható az SA, S1, ... SC kapcsolóval. Az ezek melletti csúszkák azt szabályozzák, hogy amíg a mozgást vezérlő α szög leír egy teljes fordulatot, addig hányat fordul a konstrukció egy egy síkmetszet mentén.
A Palást és a Metszet nevű kapcsolókkal külön ki-be kapcsolhatók ezek a felületek, amelyek áttetszősége is változtatható a két csúszkával.
A demonstráció annyival nyújt többet, mint maga a kézbe vehető konstrukció, hogy megrajzolja a kúp csúcsának a pályáját, ill. a csúcs helyét, ha α 5° -onként változik.
Figyeljük meg, hogy ha csak két párhuzamos (pl, kék ) síkmetszet mentén forog a konstrukció, akkor a kúp csúcsa egy síkbeli cikloist ír le, így választ kaphatunk az itt feltett kérdésre: két, párhuzamos síkú körrel is előállítható egy ciklois.
"A változatosság gyönyörködtet"
A fenti, sokat hangoztatott mondatnak eddig is szép bizonyítékát tapasztalhattuk meg, azonban felvethető a kérdés, hogy maga a konstrukció milyen határok között változhat. Éljünk a Szerkesztés lehetőségével.
Ezt a jelölönégyzetet bekapcsolva lehetőségünk nyílhat a kubstrukció adatainak a megváltoztatására:
- n : A "kúp" tulajdonképpen egy n oldalú gúla, amely elég nagy n pl. n=90 esetén már kúpnak tűnik. n növelésével erősen megnő a program számolás igénye, így sokat gyorsíthatunk a az animáció mozgásán, ha n-et csökkentjük. (A csúcs pályáját ez nem teszi szaggatottá.)