Monotonie und Schranken
- Autor:
- Gottfried Kendl
Beispiel
Ein Patient nimmt täglich eine Tablette ein, die a Milligramm eines Wirkstoffs enthält. Die Wirkstoffmenge nimmt im Körper pro Tag um p% ab, beträgt also vor Einnahme der nächten Tablette (100 - p)% der Menge am Vortag, also das r-Fache mit r = (100 - p)% und 0 < r < 1.
Für die Menge xn nach Einnahme der Tablette am Tag n gilt also: xn = r xn-1 + a .
Aufgabe 1
Erzeuge die Folge (xn) für verschiedene Werte von a und r. (a > 0, 0 < r < 1) Welche der folgenden Aussagen sind - vermutlich - richtig?
Aufgabe 2
Welche Folgen würden für r = 0 bzw. r = 1 entstehen? Was würde das im gegebenen Kontext bedeuten?
Aufgabe 3
Betrachte nun die Folge für a = 5 und r = 0,8.
x1 = 5
xn = 0,8 xn-1 + 5
a) Zeige: xn < 25 für alle n = 1, 2, 3, ...
b) Zeige: xn+1 > xn für alle n = 1, 2, 3, ...
Man sagt:
a) 25 ist eine obere Schranke der Folge, die Folge ist nach oben beschränkt.
b) Die Folge ist streng monoton steigend.