f' continua en a
Vamos a construir un ejemplo de una función que sea derivable en un punto, pero cuya derivada no sea continua en ese punto. Así demostraremos que el recíproco de la afirmación
no es cierto.
Consideremos la función: 1. Estudiamos la continuidad en x = 0 Para que la función sea continua en x = 0, debe cumplirse: Sabemos que: Multiplicando por x²: Como los dos extremos tienden a cero, aplicando el teorema del sándwich: Por tanto, la función es continua en x = 0. 2. Estudiamos la derivabilidad en x = 0 Aplicamos la definición de derivada: Sustituyendo: Como: Otra vez usando el teorema del sándwich vemos que: Por tanto, la función es derivable en x = 0. 3. Calculamos la función derivada Para x distinto de cero, aplicamos las reglas de derivación: Simplificando: Por tanto, la función derivada es: 4. Estudiamos la continuidad de la derivada en x = 0 Para que la derivada sea continua en x = 0, debe cumplirse: Calculamos: El primer término tiende a cero: Sin embargo, el segundo término no tiene límite: Esto ocurre porque el coseno oscila indefinidamente entre −1 y 1 cuando x se aproxima a cero. Por tanto: En consecuencia, la derivada no es continua en x = 0. 5. Conclusión Hemos encontrado una función que cumple:
pero: Por tanto, hemos demostrado que: Importante: La continuidad de la derivada es una condición suficiente, pero no necesaria, para la derivabilidad de una función. Por ello, cuando estudiamos la derivabilidad de una función definida a trozos, calcular los límites laterales de las derivadas de cada tramo no siempre permite decidir si la función es derivable. Si estos límites no existen, puede ser necesario recurrir a la definición de derivada.