Construcción de un triangulo a partir de un triangulo medial

Problema

A partir de un triangulo A construye un triangulo B, considerando que los vértices del triangulo A son puntos medios de los lados del triangulo B. ¿Qué relación tienen ambos triángulos?

Un buen paso para comenzar

Un buen paso para comenzar es pensar nuestro problema al revés. Podemos construir un triángulo cualquiera trazar sus puntos medios y a partir de ellos construir un triángulo medial. Y a partir de dicha construcción identificar las relaciones que tienen ambos triángulos.

Construye

Solución Construcción 1.1

Pasos para la construcción 1.1

Trazar los puntos medio

1. Con la herramienta “Circunferencia (Centro, punto) trazamos una circunferencia con centro en el punto A hasta el punto C. 2. Con la misma herramienta de circunferencia, trazamos una circunferencia con centro en el punto C hasta el punto A. 3. A continuación marcamos donde interceptan ambas circunferencias con la herramienta de “Intersección”. 4. Posteriormente trazamos una recta que pase por los puntos de intersección que trazamos en el paso anterior. 5.Con la herramienta de “Intersección” marca el punto donde intersecta el lado del triángulo AC y la recta, y justo ahí es el punto medio. Realizamos el mismo procedimiento con los otros dos lados del triángulo.

Trazar el triángulo inscrito

Con la herramienta de polígono marcamos el punto F, después el punto Í, posteriormente el punto N y por último otra vez el punto F para cerrar el triángulo. Ahora con la construcción realizada ¿Qué relaciones podemos observar? ¿Cómo podemos resolver el problema planteado al inicio?

1ra Relación: Las relaciones de ambos triángulos

A continuación te mostrare varias construcciones que nos muestran las relaciones que tienen ambos triángulos y con ello podrás resolver el problema planteado:

Construcción 2.1

Construcción 2.2

Construcción 2.3

Pasos para la construcción 2.3

1. Con la herramienta "Circunferencia (Centro, punto), trazamos una circunferencia con centro en el punto I hasta el punto F. 2. Con la misma herramienta de circunferencia, trazamos una circunferencia con centro en el punto F hasta el punto I. 3. Con la herramienta "Intersección", marcaremos los puntos (en este ejemplo son los puntos O y P) donde intersectan las dos circunferencias que trazamos en el paso 1 y 2. 4. Con la herramienta de "Segmento" trazamos un segmento que pase por los puntos que marcamos en el paso 3 (que pase por los puntos O y P). 5. Con la herramienta de "Intersección", marcaremos el punto donde el segmento OP y el lado IF del triángulo IFN. 6. Con la herramienta "Circunferencia (Centro, punto) , trazaremos una circunferencia con centro en el punto Q hasta el punto N. 7. Repetimos este mismo procedimiento con los otros dos lados del triangulo IFN. ¿Qué podemos observar al realizar esta construcción? Después de realizar la construcción anterior, podemos observar que al trazar una circunferencia con centro en el punto medio de cualquier lado del triángulo medial IFN hasta el vértice opuesto del mismo triángulo, dicha circunferencia siempre pasa por uno de los vértice del triangulo ABC.

2da Relación: Conexión entre puntos Construcción 3.1

Pasos para la construcción 3.1

Continuaremos con la misma construcción realzada para ver la 1ra relación entre ambos triángulos. 1. Con la herramienta de "Recta" trazaremos una recta desde el punto medio de un lado del triángulo IFN hasta el vértice opuesto del mismo triángulo. ¿Qué podemos observar con esta construcción? Al realizar la construcción podemos observar que al trazar una recta que una el punto medio de cualquier lado del triángulo IFN con su vértice opuesto, dicha recta también pasa por uno de los vértices del triángulo ABC

Solución del problema planteado al inicio

A continuación te mostramos una solución al problema planteado. La construcción del triángulo y la relación de ambos triángulos.

Construcción 4.1 utilizando solamente puntos, rectas y circunferencias.

Construcción 4.2 utilizando las herramientas de punto medio, recta y circunferencia.

Pasos para la construcción 4.2

1. Marca el punto medio (punto D) del lado AC. 2. Construye una recta desde el punto D al vértice opuesto (Punto B). 3. Construye una circunferencia con la herramienta "Circunferencia (Centro, punto)" con centro en el punto D hasta el punto B. 4. Con la herramienta punto "intersección" marcar la intersección de la circunferencia con la recta DB. 5. Repetir el procedimiento anterior a partir de los dos lados del triangulo. 6. Por ultimo trazaremos el triangulo GHI, con la herramienta "Polígono" marca el punto G, después el punto H, luego el punto I y por ultimo vuelve a marcar el punto G para cerrar el triángulo.

Respuesta del inicio

La relación que tienen ambos triangulos es que el área del triangulo B es un cuarto del área del triangulo A, pero...

¿Por que ocurre?

Triángulo medial

Si tomas un triángulo cualquiera y marcas los puntos medios de sus tres lados, y luego los unes, se forma un nuevo triángulo dentro del original. A este nuevo triángulo se le llama triángulo medial.

Propiedades del triángulo medial.

Los lados del triángulo medial son paralelos a los lados del triángulo original. Cada lado del triángulo medial mide la mitad del lado correspondiente del triángulo original. El triángulo medial es semejante al triángulo original, con una razón de 1/2.

Relación entre semejanza y área.

Cuando dos figuras semejantes tiene una razón de: k en longitudes, entonces sus áreas se relacionan por k². En este caso: El triángulo medial tiene lados que 1/2 de los lados del triángulo original. Por lo tanto, su área es: (1/2)² = 1/4