M3V.15 A2 L Abstandsberechnungen
Leitfrage
Wie lässt sich Abstand im Dreidimensionalen verstehen?
Grundvorstellungen zum Abstand
Für Abstandsprobleme sind drei Grundvorstellungen zentral:
M3.V.15a A2 AB Abstand berechnen
oder als offener Auftrag mit Hilfestellungen in Form von Ideenkarten im digitalen Arbeitsblatt
M3.V.15b A2 AB Problem Abstand Punkt-Gerade.
- Abstand als kürzeste Verbindung
- Abstand als orthogonale Verbindung
- Abstand als Radius der Berührkugel/des Berührkreises
M3.V.15a A2 AB Abstand berechnen
oder als offener Auftrag mit Hilfestellungen in Form von Ideenkarten im digitalen Arbeitsblatt
M3.V.15b A2 AB Problem Abstand Punkt-Gerade.
Vom Abstand zweier Punkte zum Abstand Punkt Gerade als kürzeste Verbindung
Die geometrische Deutung von Vektoren als Änderungspfeil, die den Abstand zweier Punkte beschreiben, wird hier genutzt, um die Vorstellung des Abstands zwischen einem Punkt und einer Gerade als kürzester Änderungspfeil vom Punkt zu allen möglichen Punkten auf der Gerade zu entwickeln.
Abstand Punkt Gerade als orthogonale Verbindung
Aufbauend auf dem Verständnis von Abstand als kürzeste Verbindung erarbeiten sich die SuS die Grundvorstellung des Abstands als senkrechte Verbindung mit Rückgriff auf den Lotbegriff.
Abstand Punkt Gerade als Radius der Berührkugel
Der Kreis ist die Ortslinie aller Punkte, die vom Mittelpunkt denselben Abstand haben. Im ebenen Koordinatensystem kann der Abstand zwischen einem Punkt und einer Gerade auch durch den Radius desjenigen Kreises um den Punkt definiert werden, der die Gerade berührt.
Übertragen auf 3D ist dies eine Berührkugel um den Punkt an die Gerade.
Ideen zur Bestimmung des Abstands
Mögliche Lösungsideen, die in den Ideenkarten für das Abstandsproblem angestoßen werden, sind den drei Grundvorstellungen zum Abstandsbegriff wie folgt zuzuordnen:
Zeitbedarf
2h + 1h Üben
Übung
Lambacher Schweizer 2012, S. 104-117
Elemente der Mathematik 2017 LK, S. 113-119, S. 120-132, S. 104-112
Anm.: Die Schulbücher o-mathe, Elemente der Mathematik, Lambacher Schweizer und Fundamente der Mathematik nutzen in der analytischen Geometrie leider das Pfeilklassenmodell für Vektoren mit all seinen Problemen sowie vermeidbar komplexen Berechnungen und Veranschaulichungen (z.B. Ortsvektor). Nachdem diese Unterschiede mit den SuS besprochen wurden, können Übungen aus den Schulbüchern verwendet werden.