Trassierungen als Anwendung der Analysis | Didaktischer Kommentar
Kurzinformation
- Einführungsphase Mathematik
- Funktionen und Analysis
- Probleme beim Straßenbau
- Ziel: Modellieung von Trassierungen
- Dauer: 4 Stunden
- SchülerInnenmaterial: https://www.geogebra.org/m/bgbzyttq
- Spezielle Materialien: Karte zum Ausdrucken
Vorwissen und Voraussetzungen
Die SchülerInnen ...
- plotten mit GeoGebra Graphen,
- deuten Funktionsgraphen als Modellierungen von Straßenverläufen,
- können "Steckbriefaufgaben" lösen,
- beschreiben das Krümmungsverhalten des Graphen einer Funktion mithilfe der 2. Ableitung,
Lernergebnisse und Kompetenzen
Kompetenzen, die durch den Materialeinsatz aufgebaut werden können:
Die SchülerInnen...
- treffen Annahmen hinsichtlich möglicher Verläufe der Verbindungsstrecken und nehmen begründet Vereinfachungen einer vor, indem sie diese durch die Graphen von z.B. ganzrationalen Funktionen darstellen,
- suchen und finden Verbindungsstücke, die mit den vorgegebenen Funktionen an den Verbindungsstellen (1) in den Funktionswerten, (2) in der ersten Ableitung, (3) in der Krümmung übereinstimmen.
Didaktische Hinweise zur Aufgabe
- Was hilft den Schwachen?
- Was fordert die Starken?
- Selbstdifferenzierende Aufgaben
- Individuelle Schwierigkeit
- Einbindung von weiteren Aufgaben
- Verbalisierung des Lernweges
- Aushandeln von Lösungen
- Verständnis vor Kalkül
- Unterschiedliche Zugänge
- Individuelle Lernwege
- Individuelles Lerntempo
- Vorentlastung der Unterrichtsstunde
- Ans Vorwissen anknüpfen
- Gelegenheit zum Explorieren
- Begründungen einfordern (von den Phänomenen zur Erkenntnis)
- Möglichkeit zum (intelligenten) Üben
- Aufgabenvariation (-> Liste von Regina Bruder)
- Falls möglich selbstdifferenziert: Arbeit mit eigenen Beispielen
- Darstellungsformen vernetzen
Veränderungsvorschläge / Zusätze im Material
- Weitere Variationen in der Grundaufgabe
- Umformulierung der Aufgaben
- Erweiterung für die Starken
Auf der Suche nach der passenden Verbindung (45 min.)
https://www.geogebra.org/m/ezjyh3hr#chapter/774705
Die Lernenden ermitteln einen Funktionsterm als Übergang zwischen zwei Geraden so, dass ein Auto ohne "Geruckel" die Verbindungsstrecke passieren kann und benennen die Eigenschaften, die dies gewährleisten.
Übung: Umgehungsstraße (30 min.)
https://www.geogebra.org/m/fwwcjvas
Die Lernenden lösen eine Aufgabe wie in der vorheriegen Aktivität "vom leeren Blatt" aus.
Verdrehte Koordinatensysteme (45 min.)
https://www.geogebra.org/m/ezjyh3hr#chapter/774704
Die Lernenden weisen nach, dass die Wahl des Koordinatensystems Auswirkungen aus die Lösung hat.
Die Krümmung unter der Lupe (30 min.)
https://www.geogebra.org/m/ezjyh3hr#chapter/783227
Der Begriff des Krümmungskreises und der Krümmung werden hergeleitet und angewendet.
Sicherung / Hausaufgabe
https://www.geogebra.org/m/vw2egjuq
Die Lernenden untersuchen reale Trassierungen im besten Fall "vor ihrer Haustür" mit Hilfe eines Screenshots aus einer Landkartensoftware wie Google Maps, modellieren diese und untersuchen sie hinsichtlich der Krümmung.
Überprüfen des Lernerfolges
Um zu überprüfen, ob die Schüler:innen die Kompetenzen auch wirklich erreicht haben, lösen sie Aufgaben nach dem Muster der Aufgabe Umgehungsstraße. Am Ende der Lerneinheit wird diese angereichert um Fragen nach der Krümmung.
Probleme und Lösungsmöglichkeiten
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Links zu Materialien und Quellen
- Lambert, Anselm; Peters, Uwe (2005): Straßen sind keine Splines. Im Internet abrufbar unter https://www.math.uni-sb.de/preprints/preprint139.pdf (Zugriff vom 25.02.2022).
- Böer, Heinz; Volk, Dieter (1982): Trassierung von Autobahnkreuzen - autogerecht oder... Göttingen: Gegenwind-Verlag.