Gleichmäßige Stetigkeit
Beschreibung
In der Datei geht es um eine mögliche Charakterisierung gleichmäßiger Stetigkeit, bei der das zu
Epsilon gehörige Delta nur von Epsilon, nicht von einer fixierten Stelle x, abhängt. In diesem Sinne
handelt es sich bei Stetigkeit um eine lokale, bei gleichmäßiger Stetigkeit um eine globale
Eigenschaft.
Übungs- und Reflexionsaufgaben
1. Vergewissern Sie sich mit Hilfe der Visualisierung, dass die Funktion auf ihrem
Definitionsbereich stetig ist. Lässt sich f in 3 stetig fortsetzen?
2. Geben Sie nun ε = 1 vor und betrachten Sie die Stelle x = 0 . Suchen Sie jetzt ein
passendes δ, sodass die Funktionswerte der δ-Umgebung sich maximal
um ε unterscheiden. Variieren Sie dann die Stelle x, ohne ε zu verändern. Wie müssen
Sie δ anpassen, wenn Sie x immer näher an die Definitionslücke bewegen?
3. Bei gleichmäßiger Stetigkeit ist δ nicht mehr von der betrachteten Stelle x abhängig.
Können Sie ein δ in Abhängigkeit von jedem festen ε finden, sodass δ für jede betrachtete
Stelle genügend klein ist? Ist die Funktion auf ihrem Definitionsbereich gleichmäßig
stetig?
4. Den Unterschied von (gewöhnlicher) Stetigkeit und gleichmäßiger Stetigkeit drückt sich
auch durch die Reihenfolge der Quantoren aus. Wie wird durch die Reihenfolge der
Quantoren sichergestellt, dass δ hier nur von ε abhängt?
5. Dass stetige Funktionen auf kompakten Intervallen gleichmäßig stetig sind, ist ein Satz,
der in der Vorlesung bewiesen wird. Stellen Sie sich vor, die hier gegebene
Funktion f würde nun auf das kompakte Intervall [−6,2] eingeschränkt. Wie können Sie
mit Hilfe der Visualisierung zu jedem ε ein δ finden, welches für das gesamte Intervall
passend ist?