Áreas de polígonos complejos
- Autor:
- Rafael Losada Liste
Esta actividad pertenece al libro de GeoGebra Cómo se hace... con GeoGebra.
La diferencia entre interior y exterior de un polígono es clara cuando el polígono es simple (es decir, no se interseca a sí mismo). Pero si observamos la parte que GeoGebra sombrea en los polígonos complejos, como el de la figura, nos podemos llevar alguna sorpresa.
El área sombreada en la figura es de 86 unidades cuadradas. Sin embargo, GeoGebra le otorga al polígono un valor de 118. La razón es que hay regiones que el polígono rodea más de una vez (en un sentido o en el sentido opuesto).
GeoGebra suma los ángulos (entre -π y π) desde cada punto interior a cada par de vértices consecutivos. Si esa suma es 0, el punto es exterior. Si es distinta de cero, indica (módulo 2π) cuántas vueltas da el polígono alrededor del punto, y en qué sentido (positivo o negativo).
El valor que GeoGebra asigna al polígono es la suma del producto de cada área parcial por la suma de ángulos (módulo 2π) correspondientes a esa área. En este caso, la suma de 9 por 0 (los "huecos", rodeados por una vuelta en sentido positivo y por otra en sentido negativo) más 62 por 1 (62 u.c. rodeadas por una sola vuelta en sentido positivo, rastro verde) más 16 por 2 (16 u.c. rodeadas por dos vueltas positivas, rastro violeta) más 8 por 3 (8 u.c. rodeadas por 3 vueltas positivas, rastro gris):
área polígono = 9·0 + 62·1 + 16·2 + 8·3 = 118
Autor de la construcción y la actividad: Rafael Losada Liste.
Esta actividad está presente en el curso GeoGebra en la enseñanza de las Matemáticas.